cos4θ・cos2θ＞0について

質問

0<θ<90の範囲で、cos4θ・cos2θ>0が成立するθに範囲を求める問題なのですが、cos4θ>0かつcos2θ>0のときと、cos4θ<0かつcos2θ<0の場合を求めるのはなぜダメなのですか？解答では、cos4θを２倍角を使って、2(cos2θ)^2 - 1と書き直して、cos2θで統一して、2(cos2θ)^2 - 1を因数分解して、最終的には、2(cos２θ- １/√2)(cos２θ -1/√2)cos２θ>0となって、３次関数のグラフから解いているのですが。

もしかして、cos4θとcos2θは独立な関係にないからですか？でも4θと2θは別個のものですよね？また、独立な関係にある場合とない場合ではなぜ処理の仕方が違うのでしょうか？
例えば、xy>0が「x>0,y>0またはx<0,y<0」なのに、なぜ、xx>0は「x>0,x>0またはx<0,x<0」にならなくてｘ≠0になるんですか？

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

基本的には質問者の解法で方針は合っています.
角の変域に注意すると， 0<4θ<360,0<2θ<180で
cos4θ>0 <==> 0<4θ<90,270<4θ<360 <==> 0<θ<22.5, 67.5<θ<90 ・・・(1)
cos2θ>0 <==> 0<2θ<90 <==> 0<θ<45 ・・・(2)
(1)かつ(2)より 0<θ<22.5
同様にして
cos4θ<0 <==> 90<4θ<270 <==> 22.5<θ<67.5 ・・・(3)
cos2θ<0 <==> 90<2θ<180 <==> 45<θ<90 ・・・(4)
(3)かつ(4)より 45<θ<67.5

よって 0<θ<22.5, 45<θ<67.5

お礼

oshiete_gooさんどうも御返事ありがとうございます。
ちょっと計算間違えてしまいました。sinとcosをまちがえて考えてました。
（よくやるんですが・・・。）もう一度自分でやってみて、答え合わせしたいと思います。ありがとうございました。

回答No.1

kumagoro-

cos4θ > 0かつcos2θ > 0の場合を求める方法でも別に構わないと思います。
でも、解答の方が楽な解き方だと思うのですが・・・。

また、最後の例題の「x>0,x>0またはx<0,x<0」と「x≠0」は同じ意味だと思います。
ただ、同じ事を２つ書くのは無駄なので「x>0またはx<0」と書くでしょう。

お礼

こんにちは。

＞cos4θ > 0かつcos2θ > 0の場合を求める方法でも別に構わないと思います。
でも、解答の方が楽な解き方だと思うのですが・・・。

そう解くと、答えが違ってくるのですが。上のように解くと0<θ<45になりますが、本の解答では、0<θ <22.5, 45<θ <67.5となっているのですが。