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f(x,y)のClass

f(x, y) = { xy/(x^2 + y^2)^1/2 if (x, y) ≠ (0, 0), 0 if (x, y) = (0, 0) } 上の関数はC^０級であること、そして原点においてC^1級ではないことはどのように示すことができますでしょうか。

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  • muturajcp
  • ベストアンサー率78% (505/644)
回答No.1

(x,y)≠(0,0)のとき f(x,y)=xy/√(x^2+y^2) f(0,0)=0 とすると 連続関数の積和平方根は連続で 商は分母≠0で連続だから (x,y)≠(0,0)のとき f(x,y)は連続 x^2+y^2-2xy=(x-y)^2≧0 x^2+y^2+2xy=(x+y)^2≧0 だから |xy|≦|2xy|≦x^2+y^2 の両辺を0<√(x^2+y^2)で割ると |xy|/√(x^2+y^2)≦√(x^2+y^2) だから lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y) =lim_{(x,y)→(0,0)}xy/√(x^2+y^2) =0 =f(0,0) fは連続だからC^0級 (x,y)≠(0,0)のとき f_x(x,y)=y^3/(x^2+y^2)^{3/2} y≠0のとき f_x(0,y)=1 x≠0のとき f_x(x,0)=0 lim_{y→0}lim_{x→0}f_x(x,y)=1 ≠lim_{x→0}lim_{y→0}f_x(x,y)=0 fは微分不可能だからC^1級ではない

kuma_daisuki
質問者

お礼

とてもわかりやすかったです！ もう何度か書き起こして、血肉にしていきたいと思います。 ありがとうございます！

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