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f(x,y)が原点からの距離r=√(x^2+y^2 )のみによる関数で

f(x,y)が原点からの距離r=√(x^2+y^2 )のみによる関数であるとする、すなわちf(x,y)=h(r)=h(√(x^2+y^2 ))このとき ∂^2 f/∂x^2 +∂^2 f/∂x^2 をh'(r)=dh/dr (r),h'' (r)を用いてrの式で表せ この問題の解き方と答えがわかりません。教えてください。

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回答No.1

代表的な微分(作用素)の変数変換です。 x=rcos(t)=rc. y=rsin(t)=rs. c=cos(t),s=sin(t)、と略す。 ∂x/∂r=c. ∂x/∂t=-rs. ∂y/∂r=s. ∂y/∂t=rc. ∂f/∂r=fr. ∂f/∂t=ft. ∂f/∂x=fx. ∂f/∂y=fy. と略す。 連鎖公式 fr=cfx+sfy. ft=-rsfx+rcfy. fx=cfr-(s/r)ft. fy=sfr+(c/r)ft. これより ∂/∂x=c(∂/∂r)-(s/r)(∂/∂t). ∂/∂y=s(∂/∂r)+(c/r)(∂/∂t). ∂fx/∂r=cfrr-(s/r)ftr+(s/rr)ft. ∂fy/∂r=sfrr+(c/r)ftr-(c/rr)ft. ∂fx/∂t=-sfr+cfrt-(c/r)ft-(s/r)ftt. ∂fy/∂t=cfr+sfrt-(s/r)ft+(c/r)ftt. fxx =c(∂fx/∂r)-(s/r)(∂fx/∂t) =c[cfrr-(s/r)ftr+(s/rr)ft]-(s/r)[-sfr+cfrt-(c/r)ft-(s/r)ftt] =(cc)frr-(cs/r)ftr+(2cs/rr)ft+(ss/r)fr-(cs/r)frt+(ss/rr)ftt. fyy =s(∂fy/∂r)+(c/r)(∂fy/∂t) =s[sfrr+(c/r)ftr-(c/rr)ft]+(c/r)[cfr+sfrt-(s/r)ft+(c/r)ftt] =(ss)frr+(cs/r)ftr-(2cs/rr)ft+(ss/r)fr+(cs/r)frt+(cc/r)ftt] fxx+fyy=frr+(1/r)fr+(1/rr)ftt. この問題の場合、角度に依存しないから「ft=0,ftt=0」となる。 fxx+fyy=h"+h'/r. この問題に特化した解法なら、もう少し楽な計算過程になると思う。

takane-tokki
質問者

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