x＋ｙ, xy
実数x, yがx^2 + y^2≦1を動くとき, (x + y, xy)が動く範囲を座標平面上に図示せよ。
という問題が受験数学でありますよね。この問題を少し拡張して
「xy平面上の点P(x, y)が領域D(x, y)の周および内部を動くとき(ax + by, cxy), abc≠0の動く範囲」
を考えてみようと思いました。
(p, q) = (ax + by, cxy)とおくX = acx, Y = bcyとおくと
(cp, abcq) = (X + Y, XY)と変換され、領域D(x, y)はD'(X, Y)に移される
X, Yはtの二次方程式
f(t) = t^2 - (X + Y)t + XY = t^2 - cpt + abcq = 0
の解なので、この解がD'内にある条件を決定する。
(1) D'(X, Y)がXとYの対称式で表される場合、pとqに変換できる。＋実数条件。
(2) D'(X, Y)がX1≦X≦X2, Y1≦Y≦Y2というような領域の場合、解の存在条件からpとqに書き換えられる。
ただしX1＜X2, Y1＜Y2, X1∈[-∞, ∞), X2∈(-∞, ∞], Y1∈[-∞, ∞), Y2∈(-∞, ∞]
（表記が適当なので間違っているかもしれません。雰囲気で(笑)）
このほかにこの方法でp, qを表せるような領域はないでしょうか？
