デカルトの葉形 ｆ（ｘ、ｙ）・・・

質問

デカルトの葉形　ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾3+ｙ＾3+3ｘｙ＝0は媒介変数表示ｘ＝-3ｔ/（ｔ＾3+1）、ｙ＝-3ｔ＾2/（ｔ＾3+1）、（ｔは-1でない）を持つ。ｔの異なる値a、ｂ、ｃに対する点Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にあるための必要十分条件は　abc＝-1が成り立つことであることを示せ。

解答お待ちしています。お願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(x,y)=x^3+y^3+3xy=0
x=-3t/(t^3+1)
y=-3t^2/(t^3+1)
t≠-1
A=(x(a),y(a))=(-3a/(a^3+1),-3a^2/(a^3+1))
B=(x(b),y(b))=(-3b/(b^3+1),-3b^2/(b^3+1))
C=(x(c),y(c))=(-3c/(c^3+1),-3c^2/(c^3+1))

|1,1,1|
|A,B,C|
=
|1.00,1.00,1.00|
|x(a),x(b),x(c)|
|y(a),y(b),y(c)|
=
x(b)y(c)-x(c)y(b)+x(a)y(b)-x(b)y(a)+x(c)y(a)-x(a)y(c)
=9bc(c-b)/(b^3+1)/(c^3+1)+9ab(b-a)/(a^3+1)/(b^3+1)+9ca(a-c)/(c^3+1)/(a^3+1)
=9{bc(c-b)(a^3+1)+ab(b-a)(c^3+1)+ca(a-c)(b^3+1)}/{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}
=9(abc+1)(b-a)(c-a)(c-b)/{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}

tの異なる値a,b,cに対する点A,B,Cが一直線上にあるとすると
C-A=h(B-A)
となる実数hが存在するから
x(c)-x(a)=h(x(b)-x(a))
y(c)-y(a)=h(y(b)-y(a))
{x(b)-x(a)}{y(c)-y(a)}-{x(c)-x(a)}{y(b)-y(a)}=0
x(b)y(c)-x(c)y(b)+x(a)y(b)-x(b)y(a)+x(c)y(a)-x(a)y(c)=0
↓
9(abc+1)(b-a)(c-a)(c-b)/{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}=0
a≠b≠c≠aだから(b-a)(c-a)(c-b)≠0だから
abc+1=0
abc=-1

逆にabc=-1とすると
9(abc+1)(b-a)(c-a)(c-b)/{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}=0
↓
x(b)y(c)-x(c)y(b)+x(a)y(b)-x(b)y(a)+x(c)y(a)-x(a)y(c)=0
↓
{x(b)-x(a)}{y(c)-y(a)}-{x(c)-x(a)}{y(b)-y(a)}=0
↓
B-A⊥(y(c)-y(a),x(a)-x(c))
C-A⊥(y(c)-y(a),x(a)-x(c))
B-AとC-Aは平行だから
点A,B,Cが一直線上にある

お礼

ありがとうございます。助かりました。