分母が０になる、べき乗を含んだ方程式

質問

[x^(1-a)]/(1-a)=[m^(1-a)+n^(1-a)]/(1-a)のような方程式があり、

n,mは定数、a>=0のときにxを求めたいです。

1-a≠0⇔a≠1のときは両辺に1-aをかけて分母を消去すれば
x=[m^(1-a)+n^(1-a)]^(1/(1-a))のようになると思うのですが、a=1の時にはどのようになるでしょうか。

場合分けせずに分母を払えるのか、分けて考えなければいけないのか、そもそも解は定まるのか、ご教示いただければと思います。

回答No.2

noname#195146

その分母の1－aがどうして出て来たかによります。

　何の前提もなく、その式が与えられたとしたら、a＝1は除外すべきでしょう。しかし、そうしたことは問題集やテストといったケースで起こることがほとんどです。

　もちろん、何らかの関係式を作って、最初から分母が0になる場合が必然的に出てきたら、最初からその条件を除外する必要はあります。

　しかし、関係式を作って解いていくとき、途中式ではよくあることですが、式変形の都合上、1/(1－a)を掛けてお示しのような式になるといったことはよくあり、a＝1は考慮しなくてよいことも多いです。

　他の場合としては、たとえば、両辺を2乗して何らかの処理を行い、望む式が出たところで、両辺を1/2乗するとしたら、機械的に±が生じるとすべきではないといったことも同じようなケースになります。

　同じように、両辺をa乗して解いていくとしたら、0^0になってしまうケースを考えるかどうかは、なぜa乗したか次第で、a＝0を制限事項とするか否かは、よく考える必要があります。

　要は、数式を変形して解いていくときには、その式変形にも『文脈』があり、その文脈に従って解釈して、制限条件が発生するどうかなどを考える必要があるということです。機械的に解釈すると、式変形ごとにどんどん不要な条件が加わってしまうことになりかねません。

　ですので、お示しの数式例でも、両辺に1－aを掛けて解くとして、a＝1の場合をどう処理するかは、その数式がどうしてその形になっているかという理由次第でしょう。

回答No.1

spring135

>[x^(1-a)]/(1-a)=[m^(1-a)+n^(1-a)]/(1-a)　　(1)

a=1の時にはどのようになるでしょうか。

この場合はそもそも(1)が意味をなくします。

従って、検討に値せず、と答えるべきでしょう。

ともあれ特殊な場合を除いて(1)の式の分母の無意味さは驚嘆に値します。

よって

[x^(1-a)]=[m^(1-a)+n^(1-a)]　　　(2)

から出発するのが良識ある選択です。

しかしこの場合

x,m,nが正の実数の場合、

a→1で左辺は1、右辺は2となり、意味をなしません。

mまたはｎが0の場合

結局x=nまたはx=mということになります。