この問題とき方を教えてください。

質問

ΔABCで、sinA:sinB:sinC=7:5:3のとき、面積は15√3
です。３辺を求めなさい。と問題にはあります。

回答No.3

march4 · ベストアンサー

では、三平方の定理を用いた解き方で説明しますね。

頂点Bから辺ACに下ろした垂線の長さをHとおきます。
同様に、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の長さをhとおきます。
そうすると、
sinA＝H/AB、sinB＝h/BC、sinC＝H/BC　
sinA＝h/AC　
と、表せます。
条件より、sinA:sinB:sinC=7:5:3なので、

sinA：sinC=H/AB：H/BC=7：３　この式の両辺にAB・BCをかけて、AB：BCの比を求めると、
BC＝AB＝７：３　とわかります。
同様に、
sinA：sinB=sinA＝h/AC：h/BC＝７：５　より
BC：AC＝７：５　とわかります。

ここで三辺を比で表してみると、
BC：AC：AB＝７：５：３　になるので、
BC＝７X、AC＝５X、AB＝３X　（X＞０）とおくことにします。

■ここから、ヘロンの公式を使わないで問題を解きます。
三角形の面積をＳとおくと、
Ｓ＝AB・AC・(sinA)÷２
　＝AB・AC・H÷AB÷２　　（←sinA=H÷AB)
　＝AC・H÷２
　＝５X・H÷２　　(←AC=5x)　　　---------（★１式）
とかけます。

次に、△ABCにおいて、頂点Bから辺ACに下ろした垂線と辺ACとの交点をDとおくと、
AC＝AD＋DC　と書くことができます。
ここでBD＝Kとおくと、
AD=AC-K=5x-K　とかけます。

このとき、△ABDと△BCDはどちらも直角三角形なので、それぞれの直角三角形において、三平方の定理を用いて
（Hの２乗）=（ABの２乗）-(ADの２乗）　（←直覚三角形ABDに着目）
=（3X)^^-(5X-K)^^　　　※「^^」は２乗を表す

（Hの２乗）=（BCの２乗）-(CDの２乗）　（←直覚三角形BCDに着目）
=(7X)^^-K^^

上の２式より、
（3X)^^-(5X-K)^^=(7X)^^-K^^
と書け、これを展開してK＝(13/2)X　とわかる。

よって、
（Hの２乗）＝(7X)^^-｛(13/2)X｝^^
=(27/4)X^^
∴H=｛(3√3)÷２｝X　　　-------------------(★２式）

★１式に★２式を代入して、
Ｓ＝｛(15√3)÷４｝X^^
とかけ、条件より、Ｓ＝15√3なので、

Ｓ＝｛(15√３)÷４｝X^^=15√3
上式を解いて、Ｘを求めると
X=2　と求まる。

X=2とわかったので、BC＝７X、AC＝５X、AB＝３X　（X＞０）より
BC＝14、AC＝10、AB＝6

が導き出せる。

（終了）

こういう解き方もあります。
ヘロンの公式を使った解き方もあるということですね。（さらに他にも解き方があるでしょうね）
どちらで解くかは、好みの問題かなぁと思います。
どちらの解き方も思い浮かぶというのが一番良いでしょうね。
ちなみに、私が高校生の時はヘロンの公式を使っていたと思います。
ある意味、裏テク的な公式かもしれません。でも、便利です＾＾。

以上

お礼

わざわざありがとうございます。こういうとき方もあるんですね。勉強になりました。

回答No.2

march4

御答えしますね。
ゆっくり、図を書きながら読んでみて下さい。

頂点Bから辺ACに下ろした垂線の長さをHとおきます。
同様に、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の長さをhとおきます。
そうすると、
sinA＝H/AB、sinB＝h/BC、sinC＝H/BC　
sinA＝h/AC　
と、表せます。
条件より、sinA:sinB:sinC=7:5:3なので、

sinA：sinC=H/AB：H/BC=7：３　この式の両辺にAB・BCをかけて、AB：BCの比を求めると、
BC＝AB＝７：３　とわかります。
同様に、
sinA：sinB=sinA＝h/AC：h/BC＝７：５　より
BC：AC＝７：５　とわかります。

ここで三辺を比で表してみると、
BC：AC：AB＝７：５：３　になるので、
BC＝７X、AC＝５X、AB＝３X　（X＞０）とおくことにします。

次に、三辺の関係が分かったので、ここでヘロンの公式を使います。
ヘロンの公式という便利な公式は覚えておくと便利です。
私も高校生の時には、お世話になりました。
■ヘロンの公式について（参考URLより）
　　三角形の三辺の長さa、b、c　が分かっている時、三角形の面積Ｓは、
　　　　ｒ＝（a＋b＋c）÷２　とおくと
　　　　Ｓ＝√｛r(r-a)(r-b)(r-c)｝　と表せます。

この問題でヘロンの公式を使うと、次のようになります。
r＝（３x＋５x＋７x）÷２＝１５x/2
Ｓ＝√｛r（r-3x)(r-5x)(r-7x)｝
　＝｛１５・（Ｘの２乗）/4｝・√３　
となり、
ここで、条件より面積は15√3 なので、

｛１５・（Ｘの２乗）/4｝・√３＝１５√３
（Ｘの２乗）＝４
∴Ｘ＝２（Ｘ＞０）

これを　BC＝７X、AC＝５X、AB＝３X　　に代入して
BC＝14、AC＝10、AB＝6
とわかります。

（終了）

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/heron.htm

お礼

お答えありがとうございます。
ヘロンの公式は知らないのですがわかりやすく
書かれてあってよかったです。

補足

申し訳ないのですが、ヘロンの公式以外で解く方法はないのでしょうか？なければこのままヘロンの公式を使ったものでありがたいです。

回答No.1

h_i_r_o_b_o_w

ヘロンの公式を使う方法ですね。
面積＝√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
sは三角形の周の長さの半分

sinA:sinB:sinC=7:5:3
なので、それぞれの辺は実数t(tは正）とすると、
a=7t,b=5t,c=3t
よってｓは
s=(a+b+c)/2=(7t+5t+3t)/2=15t/2
ヘロンの式より
15√3=√{7.5t(7.5t-7t)(7.5t-5t)(7.5t-3t)}

15√3=15√3*t^2/4
t^2=4
tは正なので
t=2
よって、３辺は
14,10,6

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm

お礼

ありがとうございます。
ヘロンの公式を使うとあるんですが、
ヘロンの公式を習ったかどうか…。
とりあえずこの方法でいってみます。