三角比の問題について、教えて下さい。

質問

⊿ABCについて以下の条件をみたすとき、それぞれどんな三角形になるか。

【1】BCcosA+ACcosB=ABcosC

【2】(sinA+sinB+sinC)(AC+AB-BC)=2ABsinB

解法もあわせてよろしくお願いいたします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

記号については、添付図を参照してください。

＞【1】BCcosA+ACcosB=ABcosC

AB=c,BC=a,AC=bとする。
余弦定理より
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

これをもとの式に代入して整理すると、
a^4-2a^2b^2+b^4-c^4=0
(a^2-b^2)^2-(c^2)^2=0
(a^2-b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)=0
よってa^2=b^2+c^2またはa^2+c^2=b^2
ゆえに△ＡＢＣは∠Ａが９０°の直角三角形または∠Ｂが９０°の直角三角形・・・答え

＞【2】(sinA+sinB+sinC)(AC+AB-BC)=2ABsinB

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（Rは外接円の半径）より、
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
これらを与式に代入
(a/2R+b/2R+c/2R)(b+c-a)=2c(b/2R)
(a+b+c)(b+c-a)=2bc
(b+c)^2-a^2=2bc
b^2+2bc+c^2-a^2-2bc=0
b^2+c^2=a^2

よって△ＡＢＣは∠Ａが９０°の直角三角形・・・答え

お礼

毎度ありがとうございます。
図までつけて頂き恐縮です。

余弦定理や正弦定理を用いるのはわかっていましたが、このように自由自在に操れなければならないのですね・・・
勉強になりました。
ありがとうございました。