高校数学の問題です。手掛かりが・・・

質問

座標平面において，直線 y=3-x のx軸，y軸との交点をそれぞれA, B とする。

またx軸上の点C(1,0) y軸上の点D(0,2)と線分AB上を動く点Pがある。

点Pは実数の変数 t を用いて，　（3-3t, 3t）　（0≦t≦1)　と表すことができ，

∠CPD が最大となるときの t の値を求めよ。

少し問題文を変えていて不自然な表現かもしれませんが，だいたいこのような感じです。

ベクトルの内積で解くのか，傾きを tan として考えるのか，幾何的に解くのか手掛かりがつかめません。
申し訳ありませんが，ヒントだけでも宜しくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞ベクトルを↑として
↑C=(1,0)、↑D=(0,2)、↑P=(3-3t,3t)、
↑PC=↑C-↑P=(-2+3t,-3t)
↑PD=↑D-↑P=(-3+3t,2-3t)
↑PC・↑PD=(-2+3t)*(-3+3t)+(-3t)*(2-3t)=18t^2-21t+6
=|↑PC|*|↑PD|cos∠CPD
|↑PC×↑PD|=|(-2+3t)*(2-3t)-(-3t)*(-3+3t)|=|3t-4|
=|↑PC|*|↑PD|sin∠CPD、0≦t≦1だから|3t-4|=4-3t
cot∠CPD=cos∠CPD/sin∠CPD=(18t^2-21t+6)/(4-3t)=f(t)として
f(t)が最小となるtを求める。
f'(t)={(36t-21)*(4-3t)-(18t^2-21t+6)*(-3)}/(4-3t)^2
=-6(9t^2-24t+11)/(4-3t)^2、9t^2-24t+11=0の解はt=(4±√5)/3、
だからf'(t)=-6{t-(4-√5)/3}{t-(4+√5)/3}/(4-3t)^2、
0≦t≦1で分母(4-3t)^2＞0だからf'(t)は0＜t＜(4-√5)/3で負、
t=(4-√5)/3でf'(t)=0、(4-√5)/3＜t≦1＜(4+√5)/3でf'(t)＞0
となるので、f(t)は0＜t＜(4-√5)/3で減少、t=(4-√5)/3で
極小、(4-√5)/3＜t≦1で増加するので、0≦t≦1でf(t)が最小
となるのはt=(4-√5)/3のときであり、cot∠CPDが最小になるので
∠CPDは最大となり、求めるtは(4-√5)/3・・・答