∫e^(-r^2) * r drの解き方

質問

部分積分で自分でやってみます。

∫e^(-r^2) * r dr
= e^(-r^2) * (r^2)/2 - ∫{ -2r e^(-r^2) * (r^2)/2 } dr
= e^(-r^2) * (r^2)/2 - ∫{ -r e^(-r^2) * (r^2) } dr
= e^(-r^2) * (r^2)/2 - ∫{ - e^(-r^2) * (r^3) } dr
= e^(-r^2) * (r^2)/2 + ∫{ e^(-r^2) * (r^3) } dr

後ろの項が元の積分よりもややこしい形に・・・。
ここまでが合っているかも分からないですけど・・・。
答えは- { e^(-r^2) }/2になるらしいです。
この場合は置換積分ですか？
教えてください。お願いします。

回答No.1

anisakis · ベストアンサー

r^2 = x　とおけばいいです
2rdr = dx
r=(1/2)*dx/dr

∫e^(-r^2) * r dr =
∫e^(-x) * (1/2)*dx/dr dr =
1/2∫e^(-x)*dx =
-1/2[e^(-x)] =
-1/2[e^(-r^2)]

お礼

なるほど、r^2 = x　とおけばよかったんですね。
分かりやすい説明でした。
ありがとうございました！