回転円板の平面ひずみ状態について

質問

物理の微積分についての質問です。

回転中実円板(円筒座標系:r,θ,z)で平面ひずみ状態(εz=0)とした時、σｒ=｛E/(1+ν)(1-2ν)｝・｛(1-ν)du/dr+ν・u/r｝とσθ=｛E/(1+ν)(1-2ν)｝・｛(1-ν)u/r+ν・du/dr｝となりました。ここで、円板の応力の釣合い式はr・ｄσｒ/ｄｒ+σｒ-σθ+ρ・ω＾2・ｒ＾2=0となっています。

この式のσｒとσθに代入したのちｒについて積分を行うなどして、u=～の形の式にしたいのですが、途中の微積分がうまくできていないせいか(？)なかなかまとまりのある式にならず、困っています。

平面応力状態(σｒ=｛E/(1-ν＾2)｝・｛du/dr+ν・u/r｝、σθ=｛E/(1-ν＾2)｝・｛u/r+ν・du/dr｝、)の時なら、

u=(c1・ｒ)+(ｃ2・1/ｒ)-｛(1-ν＾2)/8Ｅ｝・ρ・ω＾2・ｒ＾3 (ｃ1、ｃ2は積分定数)

といった式になります。

途中の微積分の仕方や詳しい式、uについて求めた式がわかる方がいましたら、ぜひ解き方を教えていただきたいです。

回答No.1

Knotopolog · ベストアンサー

σｒ＝{E/(1＋ν)(1－2ν)}*{(1－ν)du/dr＋ν*u/r}
σθ＝{E/(1＋ν)(1－2ν)}*{(1－ν)u/r＋ν*du/dr}

の式を簡単にする為に，

A＝E/(1＋ν)(1－2ν)
B＝1－ν

とおく．すると，

σｒ＝A*{Bdu/dr＋ν*u/r}
σθ＝A*{Bu/r＋ν*du/dr}

ｄσｒ/ｄｒは，

dσｒ/dr＝A*{Bd^2u/dr^2＋ν*[r(du/dr)－u]/r^2}

になります．したがって，

r*ｄσｒ/ｄｒ＋σｒ－σθ＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

に入れると

r*{A*{Bd^2u/dr^2＋ν*[r(du/dr)－u]/r^2}}＋A*{Bdu/dr＋ν*u/r}
－A*{Bu/r＋ν*du/dr}＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

です．整理すると，

r*A*Bd^2u/dr^2＋r*A*ν*[r(du/dr)－u]/r^2＋A*Bdu/dr＋A*ν*u/r
－A*Bu/r－A*ν*du/dr＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

r*A*Bd^2u/dr^2＋[r*A*ν*r(du/dr)－r*A*ν*u]/r^2＋A*Bdu/dr＋A*ν*u/r
－A*Bu/r－A*ν*du/dr＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

r*A*Bd^2u/dr^2＋A*ν*(du/dr)－[A*ν*u]/r＋A*Bdu/dr＋A*ν*u/r
－A*Bu/r－A*ν*du/dr＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

r*A*Bd^2u/dr^2＋A*ν*(du/dr)－A*ν*u/r＋A*Bdu/dr＋A*ν*u/r
－A*Bu/r－A*ν*du/dr＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

A*ν*u/r が消えて，

r*A*Bd^2u/dr^2＋A*ν*(du/dr)＋A*Bdu/dr
－A*Bu/r－A*ν*du/dr＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

r*A*Bd^2u/dr^2＋A*ν*du/dr＋A*Bdu/dr
－A*Bu/r－A*ν*du/dr＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

A*ν*du/dr が消えて，

r*A*Bd^2u/dr^2＋A*Bdu/dr－A*Bu/r＋ρ*ω^2*ｒ^2＝0

両辺に，1/(A*B) を乗ずると，

r*d^2u/dr^2＋du/dr－u/r＋(ρ*ω^2*ｒ^2)/(A*B)＝0

となります．
この式は，２階線形常微分方程式ですが，どうやら，初等関数では表せないようですので，計算ソフトを用いて解いて見ました．

WolframAlpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

上記へ，

r*u''(r) +u'(r) -u/r +(b*r^2)/a =0

を入力して 〓 を押すと解が表示されます．

なお，定数を

b=ρ*ω^2
a=A*B

と置き換えてあります．

--------------------------------------------------
u(r) = -(b r^3)/(8 a)+(c_1 (r^2+1))/(2 r)+(i c_2 (r^2-1))/(2 r)
Mathematica plaintext input:
DSolve[{(b r^2)/a - u[r]/r + u'[r] + r u''[r] == 0}, u[r], r]
Mathematica plaintext output:
{u[r] == -(b r^3)/(8 a) + ((1 + r^2) Subscript[c, 1])/(2 r)
+ ((I/2) (-1 + r^2) Subscript[c, 2])/r}
--------------------------------------------------

の様な解が得られるはずです．

WolframAlpha　の画面右端の　Show steps　をクリックすると，より詳しい解の解説が表示されます．

試してみて下さい．

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/