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2次不等式ax^2+5x+b>0・・・(1)
yyssaaの回答
(1)a>0とする。(1)が任意の実数xについて成り立つような実数a,bが満たす条件はab>⁇ >y=ax^2+5x+bのグラフはa>0だから下に凸(∪のような形)の二次曲線。 従ってこのグラフがx軸から離れていればxの値にかかわらずy>0になる。 その場合はax^2+5x+b=0が実数の解を持たないので、根の判別式が負。 よって、5^2-4ab<0、ab>25/4・・・答 (2)a=-3の時、(1)を満たす整数xが1のみであるような実数bの範囲を求めよ。 >y=-3x^2+5x+b=-3(x-5/6)^2+b+3*25/36=-3(x-5/6)^2+b+25/12 だからこのグラフは点(5/6,b+25/12)を極大点とする上に凸の二次曲線。 よって、(1)を満たす整数xが1のみとなるためにはb+25/12>0・・・・・(ア) かつ、-3x^2+5x+b=0の解のうちの小さい値が1以下で大きい値が2より 小さければよい。3x^2-5x-b=0の解はx={5±√(25+12b)}/6だから {5-√(25+12b)}/6<1・・・・・(イ)、{5+√(25+12b)}/6<2・・・・・(ウ) (ア)からb>-25/12(ア')、(イ)から√(25+12b)>-1、これは(ア')と同じ。 (ウ)から√(25+12b)<7、25+12b<49、12b<24、b<2 よって(ア')とあわせて-25/12<b<2・・・答
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