- ベストアンサー
数学の主張についての質問
- 数学を勉強していて、ある主張について疑問があります。
- 主張は新しい内容であり、教授からも興味深いと言われました。
- どなたかこの主張についてお知りの方がいらっしゃいましたら、アドバイスを頂けると嬉しいです。
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- ramayana
- ベストアンサー率75% (215/285)
- ask-it-aurora
- ベストアンサー率66% (86/130)
関連するQ&A
- 前回の質問を変えました。
前回の質問を変えて改めて次の主張を書きます。前回の質問に回答してくださった方ありがとうございました。 (主張) L={f; sup(x∈R)|f(x)| <∞} とする。 任意のf∈L1(R)∩L(R) に対して、次を満たすようなfにL1収束するC0^∞(R)の列{fn}が存在する。 ・ n∈N に依らず、sup(x∈R) |fn(x)-f(x)| < ∞ が成立する 主張はこれです。これが正しいかどうかですが、私も今考えている途中で随時分かれば新たに補足などに書く予定です。何かアドバイス、あるいはこのような定理見たことがある方お願いします。 グラフを描けばなんとなく主張が正しい気もしますが、この正しい気がするという気分が味わえるだけで、じゃあ本当に証明できるのかという話です。余談話ですがちなみにこの主張なぜ出てきたかといいますと、 f∈L1(R) のとき、任意のg∈C0^∞(R)に対して ∫fgdx =0 ⇒ f=0 a.e. in R (積分区間はR) の証明を関数解析の本に載ってある証明以外をちょっと考えていまして、このような主張が生まれました。もしこの最初の主張が正しいならば別証明としてできるのではないかなと思ったことと、あと この主張を使えばルベーグ積分でも上から評価できる不等式がさらに作れたりするのかなと思いました。具体的に リーマン積分では ∫fdx < max(x∈A)|f| ・measure(A) (A上積分) というテクニックは頻繁にありますが、ルベーグ積分ではあまり見ないですよね。 なぜなら測度0の点はどんな値でもかまわないのでそこを無視しているためあまり使われないのかなと。 最後に個人的な感想を書いてしまいましたが、ぜひ初めに書いた主張について私もできたらいいなと思います
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一様収束しないことの証明
∑xe^-(nx)が0<x<1で一様収束しないことを示せ。 ∑は0~∞です。 sup|fn(x)-f(x)|=1/ne →0(n→∞)なので、一様収束していませんか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。
大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。 位相空間Xにおいて、次の二つは同値となることを示せ。 (1)Xの可算個の閉集合F_n(n=1,2,3,...)に対してA=∪(n=1~∞)F_nが内点をもてば、少なくとも一つのF_nは内点を持つ。 (2)Xの可算個の開集合G_nがXで稠密ならばA=∩(n=1~∞)G_nもXで稠密である。 参考書には系として載っていて、F_n=G_n^cとおけばよいと書かれていました。 それで∩(n=1~∞)G_n=(∪(n=1~∞)G_n^c)^cを使うのかな、と思いましたがそこから分かりません。
- 締切済み
- 数学・算数
- lim[x→∞]f(x)の位相での定義は?
よろしくお願い致します。 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-a|<δ⇒|f(a)-f(x)|<ε』 は 『2つの位相空間(X, T)、(Y, S) と map f;X→Y と L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b),∃δ∈nbhd(a) such that f(δ)⊂ε}(a ∈X)に於いて、 L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい limf(x):=L x→a と表記する。そして、L=φの時、f(x)は発散すると言う』 という具合に一般で定義できると思います。 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』 に就いては、 『Bは位相空間(X*,T*)の部分集合Aの開被覆である』 の定義は 『T* の部分集合Bに於いて、A⊂∪[b∈B]b』 『位相空間(X*,T*)の部分集合Aはコンパクトである』 の定義は 『X* の部分集合Aの任意の開被覆B(⊂T*)に対し、∃{b1,b2,…,bn} ⊂B (n∈N) such that A⊂∪[i=1 to n]bi』 『位相空間(X*,T*)はコンパクト空間をなす』 の定義は 『位相空間(X*,T*)の部分集合X* はコンパクトである』 『位相空間(X,T)が位相空間(X*,T*)の中で稠密である』 の定義は 『X⊂X* 且つ φ≠∀A∈T* に対して,A∩X≠φ』 『位相空間(X*,T*)は位相空間(X,T)のコンパクト化である』 の定義は 『X* はコンパクト空間 且つ XはX* の中で稠密である』 従って、『x→∞』の定義は『xをa∈X* に近づける』を意味す るので εとδを使うと、 2つの位相空間 (X,T)、(Y,S) と map f: X → Y があり、位 相空間(X*,T*)は(X,T)のコンパクト化である時、 L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b,(Y,S)),∃δ∈nbhd(a,(X,T)) such that f(δ)⊂ε}(a∈X*)に於いて、 L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい lim f(x):=L x→a と表記し、 L=φの時、f(x)は発散すると言う。 例:実数体RではX*はR∪{+∞,-∞}に相当し、a∈{+∞,-∞} と定義してみたのですが、 どんな位相空間(X,T)やコンパクト化(X*,T*)では良いという訳ではなく、 夫々に何らかの条件を付け加えねばならないような気がします。 どのような条件を付ければ 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』 の一般での定義が完成しますでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- Re(s)>1,{1/n^s}が広義一様収束?
Re(s)>1, f_n(s):=1/n^sの時, 関数列{f_n(s)}が広義一様収束 となる事を示したしたいのですが どのようにすれば示せますでしょうか? 一応,広義一様収束の定義は 「D⊂C, f_n,f:D→Cとする。{f_n}がfにD上広義一様収束する ⇔ ∀D'∈{D';D⊃D'は有界閉集合}, lim_{n→∞}sup{|f_n(z)-f(z)|∈R;z∈D'}=0」 だと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。
大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。 位相空間Xにおいて、次の二つは同値となることを示せ。 (1)Xの可算個の閉集合F_n(n=1,2,3,...)に対してA=∪(n=1~∞)F_nが内点をもてば、少なくとも一つのF_nは内点を持つ。 (2)Xの可算個の開集合G_nがXで稠密ならばA=∩(n=1~∞)G_nもXで稠密である。 お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- compact作用素
コンパクト作用素の練習問題がいくつかあって、しばらく考えているのですがうまく証明できません。回答の指針でも構わないので教えていただきたいのでお願いいたします。 V=C([a,b])としてT:V→Vをf∈Vに対して Tf(x)=∫_{a→x}f(x)dxで定義すればTはコンパクト作用素。 もう1問ですが、 m>nを非負整数として、V=C^m([0,1])、W=C^n([0,1])とおくおとき、 F:V→Wをf→fで定義するとFはコンパクト作用素。 ただしC^n([0,1])のノルムは ||f||=sup(Σ_{0≦j≦n}|f^(j)(x)|)とします。 コンパクト作用素の定義では、任意の有界列の像が収束する部分列を持てばよいのですが、うまく示せませんでした。もうひとつ退化作用素(値域が有限次元空間になる作用素で従ってコンパクト作用素)で近似できればよいという定理も教えていただいたのですが、その方法でもうまくできませんでした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 上限に関する不等式について
一般にある区間で有界な関数f(x),g(x)について、 sup(f(x)+g(x))≦sup f(x)+ sup g(x) ですが 等号は成り立たないのでしょうか? 具体的に試してみると、f、gが有界ならば成り立ちそうな気がするのですが。 sup f(x)+ sup g(x)≦sup(f(x)+g(x)) を示して、 よって等号が成り立つといいたいのですが,手も足も出ません。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
この主張は sup|fn-f|<∞ となるような列{fn}が存在するということなので もし背理法で考えるならばそのような列が一つも存在しないことを言わないといけないです。 したがって反例を上げてくださったのはありがたいですが、f=0に収束するような滑らかな列がとれるわけなので違うかなと思いました。