次の主張は有名ですか？

質問

数学を勉強していて、次のような主張がひらめいたのですが。
「まず、C0^∞(R)はL1(R)において稠密であるから
任意のf∈L1(R)∩L∞(R) に対して、fにL1収束するようなC0^∞(R)の列{fn}が存在する。
このときn∈N に依らず、sup(x∈R) |fn(x)-f(x)| < ∞　が成立する」
この主張正しいですか？
因みに、C0^∞(R)はR上C^∞でかつあるコンパクト集合の外では0になる函数全体です。
これ大学の教授に聞いたところ、見たことがない主張だと言われて結構発見的な内容だと言われました。
もちろん、単なるf∈L1(R)だとsup(x∈R) |fn(x)-f(x)| →∞になることもあります。
しかし、fはL1(R)の元であって有界ですからグラフを描くとなんとなくその主張が言えそうな気がするかなと思いました。数学で厳密に証明をすることが目標なのでぜひ私も考えてみたいと思いますが、
もしこの内容についてアドバイスあるいは見たことがあるという方いたらどんな回答でもよいのでお願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

たとえ f が有界だったとしても、だんだん細く高くなる関数列が反例では？例えば、次のようなのです。

f(x) = 0 （恒等的に0）

fn(x) は、以下のように設定。
　　x < -2/n^2　or　x > 2/n^2 のとき fn(x) = 0
　　-1/n^2 < x < 1/n^2 のとき fn(x) = n
　　隙間の部分（ -2/n^2≦x≦-1/n^2 又は 1/n^2≦x≦2/n^2 なる x）は、全体が滑らかになるように、それぞれ単調関数で繋げる。

補足

この主張は
　　　　sup|fn-f|<∞　となるような列{fn}が存在するということなので
もし背理法で考えるならばそのような列が一つも存在しないことを言わないといけないです。
したがって反例を上げてくださったのはありがたいですが、f=0に収束するような滑らかな列がとれるわけなので違うかなと思いました。

回答No.4

ramayana

ああ、質問を読み間違えていました。 sup(x∈R, n∈N) |fn(x)-f(x)| < ∞ でなくて、sup(x∈R) |fn(x)-f(x)| < ∞ だったのですね。

これだと、 f(x) が有界という仮定のもとで、自明です。

補足

no2の補足で
>f=0に収束するような滑らかな列がとれるわけなので違うかなと思いました。
を「f=0に収束するような滑らかな列が他にとれるわけなので違うかなと思いました。」
に訂正いたします。

あと本当に申し訳ないのですが、私の初めの質問の書き方に問題がありました。このような問題の書き方だとN02のような回答になってしまいますよね。改めて質問を再度書き直します。

回答No.3

ask-it-aurora

ramayanaさんの回答[No.2]にあるような例があるので少なくとも
--このときn∈N に依らず、sup(x∈R) |fn(x)-f(x)| < ∞　が成立する
++このときn∈N に依らず、ess. sup(x∈R) |fn(x)-f(x)| < ∞　が成立する
くらいにはする必要がありますね.

## あと、もし頭に浮かべている非自明な例があれば教えてくれませんか？

お礼

質問内容を新たに変えて投稿したのでそちらをお願いします

回答No.1

noname#199771

＞fはL1(R)の元であって有界ですから

f∈L∞(R) なfは有界とは限りませんよ。
L∞(R) の定義を確認してみてください。

お礼

すいません。L∞(R)とは本質的上限が有界であるような関数全体のことを意味しているだけで、本質的上限は測度0の点を除いてもかまわないのでこれだと違いますね。
単純にL={f; sup|f|<∞}としてf∈L1∩Lとします。ありがとうございました