X,Y∊L^1(Ω,F,P)で、E(X│Y)=Y

質問

X,Y∊L^1(Ω,F,P)で、E(X│Y)=Y (a.s.) E(Y│X)=X (a.s.) と仮定する。
このとき、
P(X=Y)=1
を示せ。

この問題が解けません。どう解いたらいいですか？

回答No.1

ringohatimitu

以下のように示せるかと思います。基本は定義に従うだけです。

XとYから生成されるσ-algebraをそれぞれσ(X)、σ(Y)で表します。
このとき条件付き期待値の定義より、与えられた仮定は
∫_D (X-Y)＝0,
∫_A (X-Y)＝0,
∀D∈σ(X)、∀A∈σ(Y)
と同じことです。
さて、R^2上の連続関数F(x,y)に対して{(x,y);F＞0}は適当な開集合族{V_k,W_k}によって、
∪_k (V_k×W_k)
の形に書けます。
特にF(x,y)＝x-yをとれば適当な開集合族を用いて、
{X-Y>ε}＝∪_k ({X∈V_k}∩{Y∈W_k})
と表わせることが分かります。
ここまでくればあとは積分を評価してやるだけです。
すなわち、ε＞0を任意にとったとき、
εP({X-Y＞ε})≦∫_{X-Y>ε} (X-Y) ≦ Σ_k ∫_{ {X∈V_k}∩{Y∈W_k} } (X-Y)
≦ Σ_k ∫_{X∈V_k} (X-Y) ＝ 0
なので、任意のε＞0に対してP({X-Y＞ε})＝0です。
従って、測度の性質よりε↓0のとき、X≦Y(a.e.)が分かります。
XとYを入れ替えれば逆も同じように示せます。