内接する円の問題で・・・解答の説明をお願いします。

質問

こんにちは。

数学参考書に載っていた問題です。：
（見難くてすみません。）

【問題】

※ r = 半径、t = 半径 です。

与えられた円O(r)の内部に、互いに外接する３個の等しい円O1(t)、O2(t)、O3(t)があるとき、
それらの半径tをもちいて求めよ。

【解答】

△O1O2O3は正三角形
OO1=3分の2√3t　　　　（←ここまではわかるんですが）

〔答〕t=(s√３ー３)ｒ

解答がどうしてこうなるのか、さっぱりわかりません。
どなたか、説明をお願いできますでしょうか。

回答No.1

pasocom · ベストアンサー

下図の通り。
半径;r＝(2√3t/3)+t
です。
あとは、この式をt=　に変形するだけ。
上式の両辺を3倍して
3r＝(2√3t)+3t＝（2√3+3)t
よって
t=3r/(2√3+3)
分母を払うために、分母・分子に(2√3-3)を掛けると（有理化だっけ？）
t=3r(2√3-3)/(2√3-3)(2√3+3)＝3r(2√3-3)/(12-9)＝r(2√3-3)

お礼

posocom様

ありがとうございます。
ようやく、解答と同じ答えになりました！！

わかりやすいご説明をありがとうございました。

回答No.3

info22_

>それらの半径tをもちいて求めよ。
問題に何を求めるのか？書いてないですが
答えからすると、
小円O1,O2,O3の半径tを、円Oの半径rを用いて求めよ。
ですか？

>〔答〕t=(s√３ー３)ｒ
問題にはないsが答えの中に含まれていますが、これでは回答者にもこの解答がさっぱり分かりません。
「t=(2√3 -3)r」の間違いでは？

>解答がどうしてこうなるのか、さっぱりわかりません。
間違った解答の説明も不可能です。

添付図のように記号A,B.C,D,E,Fを割り振ると
>△O1O2O3は正三角形
OA=O1O2*sin60°=2t*(√3/2)=(√3)t

Oは正三角形の重心であるから
OO1=(2/3)OA=(2/3)(√3)t
>OO1=(2/3)(√3)t
OO1=OE-EO1=r-t より
　r-t=(2/3)(√3)t
　r=t+(2/3)(√3)t=t(1+2√3/3)=t(3+2√3)/3
これから
　t={3/((2√3)+3)}r
分母の有理化をして
　t={3((2√3)-3)/((2√3)^2-3^2)}r
　 ={3((2√3)-3)/(12-9)}r
　 =(2√3 -3)r
と求まります。

お礼

info22様

わかりやすくきれいな図で説明いただきありがとうございました。
また、ｓではなくて、２の間違いでした。大変失礼いたしました。

算額という江戸時代の数学の問題だそうです。
ありがとうございました。

回答No.2

birth11

OO1は円Oの中心と円O1の中心の距離とする。
tを用いてrを求めよ。
点Oは△O1O2O3の外接円の中心で、
△O1O2O3は正三角形なので重心と一致する。
∴ OO1= ( 2√3 t ) / 3
ここまで分かりますね。
r = OO1 + t
= ( 2 √3 t ) / 3 + t
= t {( 2 √3 ) + 3 ) / 3

t = 3 r / {( 2 √3 ) + 3 }
= 3 r {( 2 √3 ) - 3 } / {( 2 √3 ) + 3 }{( 2 √3 ) - 3 } (分母の有理化)
= {( 2 √3 ) - 3} r …………(答)

s は 2 の間違いでしょう。

お礼

birth11様

回答ありがとうございました。
ｓは２の間違いでした、大変失礼いたしました。

やっと解けました。本当にありがとうございました。