この問題の答え合わせをしてほしいです

質問

∬xy^2dxdy Dはｙ＝ｘ＾２とy=xで囲まれた領域です。この答え合わせをしてほしいです。計算過程も書くのもよろしくお願いします。答えは1/40となりました。
y=x＾2とy=xを連立させて交点を求めてyの積分を先にしてそのあとｙの積分をしました。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

図から

D：0≦x≦1,x^2≦y≦x

ですね．まずxを止めてyについてx^2≦y≦xで積分し，最後にxについて0≦x≦1で積分するとよいです．

∬_Dxy^2dxdy

=∫_0^1dx∫_{x^2}^xdyxy^2

=∫_0^1dxx∫_{x^2}^xdyy^2

=∫_0^1dxx[y^3/3]_{x^2}^x

=∫_0^1dxx{x^3-(x^2)^3}/3

=∫_0^1dx(x^4-x^7)/3

=[(x^5/5-x^8/8)/3]_0^1

=(1/5-1/8)/3

=(3/40)/3

=1/40

となり，質問者様の答になりました．