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広義積分 ∫u²e^{-u²}du (0<u<∞)
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∫(0→∞) u²e^{-u²}du ← 部分積分 =[-(u/2)e^(-u^2)](0→∞)+(1/2)∫(0→∞) e^(-t^2) dt ← 参考URL参照 =lim(u→∞)-(u/2)e^(-u^2) -0 +(√π)/2 =(√π)/2
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- misumiss
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ANo.2 にかいた解法は, あくまで, ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = (√π)/2 であることを知っている場合のみ, 許される方法です. これを既知と認めず, 値を求めるというなら, かき方を変える必要があります. まず, I = ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du と置くのは, かく分量を減らすメリットがあるので, 減点対象にはならないでしょうが, この広義積分が収束するかどうか不明な時点で, I^2 = ~ とかいて時点で, 数学科であれば, 教員は続きを読んでくれない可能性すらあります. 有限確定値をもつ保証がないのに, それを2乗することは, 意味をもたないからです. I > 0 とかくだけでも, かなり危険です. I = ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du を, 二重積分を用いてきちんと求めようとするなら, まず, (∫[0 → a] e^(-u^2) du)^2 (a > 0) を考えることから, 始める必要があります. つまり, f(x, y) = e^(-(x^2 + y^2)), K_a = { (x, y) | 0 ≦ x ≦ a, 0 ≦ y ≦ a }, と置き, 二重積分 I(a) = ∫∫_K_a f(x, y) dxdy = (∫[0 → a] e^(-u^2) du)^2 を考えます. もちろん, ∫[0 → a] e^(-u^2) du > 0 が成り立ちます. 積分範囲として, さらに, S_a = { (x, y) | x^2 + y^2 ≦ a^2, x ≧ 0, y ≧ 0 }, S_(√2)a = { (x, y) | x^2 + y^2 ≦ 2a^2, x ≧ 0, y ≧ 0 }, と置き, 極座標変換して, J(a) = ∫∫_S_a f(x, y) dxdy = ∫[0 → π/2](∫[0 → a] re^(-r^2) dr) dθ = π(1 - e^(-a^2))/4 が得られます. また, f(x, y) > 0 で, S_a ⊂ K_a ⊂ S_(√2)a なので(strict inclusion), J(a) < I(a) < J((√2)a) が成り立ちます. ここで, a → ∞ とすると, J(a) → π/4, J((√2)a) → π/4 となりますから, lim [a → ∞] I(a) = π/4 が得られます. 以上のことより, ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = √(π/4) = (√π)/2 であることが, 示されました.
- ereserve67
- ベストアンサー率58% (417/708)
部分積分より ∫_0^∞u^2e^{-u^2}du =∫_0^∞u(-e^{-u^2}/2)'du =[u(-e^{-u^2}/2)]_0^∞-∫_0^∞(-e^{-u^2}/2)du ここでe^{-u^2}は急激に0に減少するので第1項は0.第2項 -∫_0^∞(-e^{-u^2}/2)du=(1/2)∫_0^∞e^{-u^2}du についてI=∫_0^∞e^{-u^2}du>0とおくと I^2=∫_0^∞e^{-x^2}dx∫_0^∞e^{-y^2}dy =∫_0^∞∫_0^∞e^{-(x^2+y^2)}dxdy 極座標へ変数変換して I^2=∫_0^∞∫_0^{π/2}e^{-r^2}rdrdθ =(π/2)∫_0^∞e^{-r^2}rdr =(π/2)[-e^{-r^2}/2}]_0^∞ =(π/2)(1/2)=π/4 ∴I=√(π/4)=(1/2)√π よってもとめる広義積分は (1/2)I=√π/4
- misumiss
- ベストアンサー率43% (24/55)
まず, 部分積分によって, ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = 2∫[0 → ∞] (u^2)e^(-u^2) du ・・・ (1) が得られます. また, ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = (√π)/2 ・・・ (2) であることは, 非常に有名なので, ご存知だと思います. (1) と (2) を比較することにより, 2∫[0 → ∞] (u^2)e^(-u^2) du = (√π)/2 であることがわかるので, 結局, ∫[0 → ∞] (u^2)e^(-u^2) du = (√π)/4 となります. 一般には, 自然数 n に対して, ∫[0 → ∞] (u^(2n))e^(-u^2) du = (√π)(2n - 1)!!/2^(n + 1) が成り立ちます.
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