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定積分の問題について
皆さんよろしくお願いいたします。 問題は以下を証明せよです。 ∫W(u)du=π^2/2 ただしW(u)＝log( coth(|u|ln(10)/2 )、積分範囲-∞<u<∞ （※ここでlogは10を低とする常用対数、lnはeを低とする自然対数） ここでW(u)は|u|があることから、またグラフの形状から偶関数であることがわかったので、 与式を次のようにしました。 ∫[-∞<u<∞]W(u)du=2×∫[0≦u<∞]log( coth(uln(10)/2 )du この次に変数uは２つの関数の中に入っているので、t=coth(|u|ln(10)/2と置いて、置換積分を試みようとしました。 ところが、置換積分て積分範囲が∞の時も成立するのか分からず四苦八苦しております。 どなたか、ご存知の方いらっしゃいましたら、ご教示いただきたくお願いいたします。
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- naozou
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厳密には変数変換後(置換積分)の積分が発散しないことを確かめればいいはずです。 もしくは、無限積分は有限区間に限った積分の極限と考えられますから、有限区間での置換積分の極限が存在するかどうかになります。 置換積分によっては、無限積分(極限)が存在しない場合も考えられますので、そこに注意する必要があるとおもいます。
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