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不定積分ができません。
ある数学の参考書に次のような記述があります。 √(1+U^2)の不定積分は U = (E^t - E^(-t))/2 と置いて置換積分法を使うのがもっとも賢明です。 そのとき、積分の根号の中は完全平方式となり、結果は ∫√(1+U^2)du = ( U√(1+U^2) + log(U + √(1+U^2)) )/2 になります。 とありますが、この答えを導くことが出来ません。（根号の中が完全平方式になるのは解ります。） わかりやすく解説していただけないでしょうか。 数式の表現が拙劣でわかりにくいかと思いますが、よろしくお願いします。
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- spring135
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- info22_
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U,Eは小文字を使う。 >√(1+u^2)の不定積分は u=(e^t -e^(-t))/2 と置いて置換積分法を使うのがもっとも賢明です。 uを双曲線関数で表すと u=(e^t -e^(-t))/2=sinh(t)となります。 du=cosh(t)dt √(1+sinh^2(t))=√(cosh^2(x))=cosh(x)(>0) I=∫√(1+u^2)du=∫cosh^2(t)dt 公式cosh^2(t)=(1/2)(cosh(2t)+1)より I=(t/2)+(1/4)sinh(2t) =(t/2)+(1/2)sinh(t)cosh(t) =(1/2)sinh^-1(u)+u√(1+u^2)+C これはこのままでいいですが 公式sinh^-1(u)=log(u+√(1+u^2))を使うと I=u√(1+u^2)+log(u+√(1+u^2))+C とも書けます。 双曲線関数sinh,coshについては参考URL参照して下さい。 双曲線関数を使わない方法は u=sinh(t)≡(e^t-e^(-t))/2のe^tとe^(-t)で表す方法を使えば良い。 du=(e^t+e^(-t))/2 dt √(1+u^2)=(1/2)√(4+(e^t-e^(-t))^2)=(1/2)√((e^t+e^(-t))^2) =(1/2)(e^t+e^(-t)) I=∫√(1+u^2)du =(1/4)∫(e^t+e^(-t))^2 dt =(1/4)∫e^(2t)+e^(-2t)+2 dt =(1/8)(e^(2t)-e^(-2t))+(t/2)+C =(1/8)(e^(t)-e^(-t))(e^(t)+e^(-t))+(t/2)+C ここで (1/8)(e^(t)-e^(-t))(e^(t)+e^(-t)) =(1/2)((e^(t)-e^(-t))/2)√((1/4)(e^(t)+e^(-t))^2) =(1/2)((e^(t)-e^(-t))/2)√((1/4)((e^(t)-e^(-t))^2+4)) =(1/2)((e^(t)-e^(-t))/2)√(((e^(t)-e^(-t))/2)^2+1) =(1/2)u√(u^2+1) 2u=(e^t-e^(-t))より e^(2t)-2ue^t-1=0 e^t>0より e^t=u+√(u^2+1) t=log(u+√(1+u^2) したがって I=(1/2)u√(1+u^2)+(1/2)log(u+√(1+u^2)+C =(u√(1+u^2)+(1/2)log(u+√(1+u^2))/2+C となります。 お分かりになりました？
お礼
ご回答ありがとうございました。おかげさまでなんとか理解できました。
- alice_44
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