解いてください。

質問

時刻t=0に原点Oから小球Pを速さv0でx軸からθの角度で投げ出す。これと同時に点（a,b）から小球Qを自由落下させる。運動はx,y面内で起こるとし、重力加速度ｇはとする。
次に問いに答えよ。
（1）投げ出されたPが、Qの置かれた点を通る鉛直線（x=a）を横切る時刻tを求めよ。
（2）この時刻のP,Qのｙ座標ｙPとyQをそれぞれ求めよ。
（3）Pを投げ出す角度θがある値のとき、v0の値にかかわらず両物体は衝突する。そのときのtanθを求め、a,bで表せ。

回答No.1

h_flower · ベストアンサー

(1)初速度v0の水平成分はv0cosθ、鉛直成分はv0sinθ
なので、Pは水平方向にはv0cosθの等速直線運動をします。
よって
a=(v0cosθ)*t
が成り立つので
t=a/(v0cosθ)
となります。

(2)Pは鉛直方向には初速度v0sinθの鉛直投げ上げ運動を
するのでtにおける変位は
yp=(v0sinθ)*t-(1/2)*g*t^2
となります。
よって(1)の結果を代入すると
yp=(v0sinθ)*a/(v0cosθ)-(1/2)*g*a^2/(v0cosθ)^2
=atanθ-(1/2){ga^2/(v0cosθ)^2}
=atanθ-(1/2)(ga^2/v0^2){1+(tanθ)^2}
となります。

一方、yは自由落下運動をするので変位は
yq=b-(1/2)*g*t^2
=b-(1/2)ga^2/(v0cosθ)^2
=b-(1/2)(ga^2/v0^2){1+(tanθ)^2}
となります。

(3)PとQが衝突する条件は(2)のypとyqが等しくなることです。
よって
atanθ-(1/2)(ga^2/v0^2){1+(tanθ)^2}
=b-(1/2)(ga^2/v0^2){1+(tanθ)^2}
となるので
atanθ=b
となるので
tanθ=b/a
となります。