二次関数

質問

放物線y=x^2+ax+b（…(1)）が２直線y=2x（…(2)）、y=-4x+3（…(3)）の両方に接するとき、定数a、bの値を求めよ。

この問題で、(1)と(2)が接するxの値をpと置いて、
0=p^2+p(a+2)+b
(1)と(3)の接するxの値をqと置いて、
0=q^2+q(a-4)+b-3
と、式を立ててみたのですが、文字が４つもでてきてしまい、解けません。
やり方が間違っているのか、それとも、このまま解くことが出来るのか、わかる人がいれば、教えてください。

回答No.4

debut · ベストアンサー

例えば放物線ｙ＝ｘ^2と直線ｙ＝２ｘ＋３の共有点を求めようとすると、
２つの式を連立させて、ｙを消去し、ｘ^2＝２ｘ＋３という２次方程式
を作って解くと思うのですが、ax^2+bx+c=px+q も、そのように共有点を
求めるための式なのです。

そして、この２次方程式の解が
　・２つあれば共有点は２つ、つまり放物線と直線は２点で交わる
　・１つならば共有点は１つ、つまり放物線と直線は接する
　・実数解がなければ、放物線と直線は交わらない
ということがわかるわけです。

したがって、作った２次方程式のＤをみることで放物線と直線の関係が
わかり、接すると言うときはＤ＝０を考えればよいことになります。

この場合のＤは、放物線に対して使ったというよりは、共有点で成り立つ
２次方程式に対して使ったということです。

お礼

わかりやすいです!!
すごくわかりやすいです。
その、３つを見分けるためにも判別式を使うってことがわからなかったんです。
本当、すごくわかりやすい説明、ありがとうございました。

回答No.5

age_momo

>ax^2+bx+c=px+qは、どこから出てきたんですか？

y=x^2+ax+b
y=-4x+3

が交わっているところを考えてみてください。
交点座標を(X,Y)とすると
Y=X^2+aX+b
Y=-4X+3
同じXを入れたとき同じYになりますね。(交点だから)
だから
Y=X^2+aX+b=-4X+3　つまりx^2+ax+b=-4x+3
と考えていいんですよ。この解が2個あれば放物線と直線は交わっていますし、重解なら接しているんです。

お礼

わかりました!!
yでイコールになってるので、代入してたんですね。
ありがとうございました。

回答No.3

Mathematica

＞この判別式は、Ｘ軸だけではなくて、放物線に対しても使えるものなんですか？

x^2+ax+b=0　というのは
y=x^2+ax+b　と　y=0 （x軸）が交差している（a,bの値にもよりますが）という意味です。昨日から、同じような質問が続いていますが、放物線y=ax^2+bx+cと直線y=px+qが接する時は、当然同一の値を取りますから=になります。

お礼

ｙに代入するんですね!!
やっとわかりました^^
ありがとうございました。

回答No.2

chainarrow

ヒント。
放物線y=ax^2+bx+cと直線y=px+qが接する時、接点は１個なので、
二次方程式ax^2+bx+c=px+qの判別式DはD＝０となります。これで２つの式が立てられます。

お礼

やっとわかりました。
いつも早い回答ありがとうございます。
答えではなく、ヒントなので、すごく為になります。
本当ありがとうございました。

補足

ax^2+bx+c=px+qは、どこから出てきたんですか？
判別式Ｄは、接点は１個なので、Ｄ＝０となるのは理解できているんですけど、この判別式は、Ｘ軸だけではなくて、放物線に対しても使えるものなんですか？
そこがイマイチ理解できなかったので、説明もらえると嬉しいです。

回答No.1

pocopeco

このまま、とけますよ。

あなたが忘れていること。この式では、放物線と直線が、接するだけでなく、２交点を持つことでもいいことになります。
接するのですから、p,qはそれぞれ一つの解しか持ちません。
0=p^2+p(a+2)+b　の解p は一つの解しか持たないのです。
0=q^2+q(a-4)+b-3　の解　qは一つの解しか持たないのです。

さぁ、あとは自分でやってみてください。

お礼

ひとつしか解を持たないので、判別式Ｄ=0の判別式が、aとbの文字を使って出てくるんですね。
うまく説明できないですけど、わかりました。
ありがとうございました!!