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考え方あってますか？
「０≦x≦２π、０≦y≦２πのとき cosx-siny=1かつcosy+sinx=-√３を解け。」という問題を解いたのですが考え方があってるか見てください。特に確かめてほしいのは⇔や⇒の使い方があってるかとか本当に⇔や⇒でいいのかです。 解答は cosy+sinx=-√３ （cosx-siny）^2=1 cosy+sinx=-√３・・・(1) ⇒ （cosy+sinx）^2=3・・・(2)⇔sin(x-y)=1・・・(3)⇔x-y=2/π,-2/3π・・・(4) (2)⇔(3)⇔(4)（これは(2)(3)(4)を満たすx,yの組み合わせの集合は全て同じ。という意味ですよね？）だから(1)⇒(4)。 (1)⇒(4)の意味するところは(1)が成り立てば必ず(4)が成り立つということ。 集合の包括関係で言えば０≦x≦２π、０≦y≦２πの範囲で(4)を満たすx,yの組み合わせの集合の中に(1)を満たすx,yの組み合わせの集合があるということだから (4)と同値のx=y+2/π,y-2/3π・・(5)は(1)でも成り立っている？ だからあとは(5)を(1)に代入して (1)⇔ cos(y+π/2 , -3/2π)-siny = 1 cosy+sin(y+π/2,-3/2π)=-√３cosy+cosy=-√３ ⇔ -siny-siny=1 cosy+cosy=-√３ これらを同時に満たすyはy=7/6π。(5)からx=5/3π(x,y)=(5/3π,7/6π) 考え方あってますか？ . この質問に補足する.
- imminent
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- kacchann
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(2)と(3)の関係を (2)->(3)とすれば 解答全体の論理展開は問題ないと思う。たぶん。 ようするに 「(1)->(5)」によって必要条件(5)を導き出し、 今度はそれを利用して、 スタート地点に戻って 問題を解く。 つまり (1)⇔「(1)かつ(5)」 として問題を解くわけね。 あってるとおもう。たぶん。 --- ちなみにこの問題自体については 解答がパターン化されていて、 解法網羅型の参考書の例題によく載ってるとおもうけど、 方針としては 初めの式はxとyが混在してるので、 これを分離する方針をとる。 初めの2式を cosx=・・・ sinx=・・・ の形にし、 次に有名式 (cosx)^1+(sinx)^1=1 に代入して解いていくのね。 この解法でも解いてみて、 同じように、 必要性、十分性をかんがえてみよう。 (これも結局、まず必要条件をもとめて、 つぎにスタート地点に返って 問題を解きなおす、 というやり方になると思う)
- Tacosan
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なお, 「(2) と (3) の関係もこのままでは (2) から (3) への一方通行」というのは, (2) から 2つの式ができるはずなのに (3) では 1つしか挙げていないからです. (3) として 2つとも上げていれば必要十分になると思います.
- Tacosan
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とりあえず (4) の 2/π や -2/3π は明らかに違う. あと, (2) と (3) の関係もこのままでは (2) から (3) への一方通行. (3) を満たす x, y は必ず (2) を満たしますか?
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