重力ポテンシャル 積分
- 重力ポテンシャルを積分する時、dxと異なり、dzは負の微小量を表します。
- 物体をz軸上で動かす際の重力の仕事量は、2mgaとなります。
- 積分の微小量dxと異なり、dzは負の値を取ります。
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重力ポテンシャル 積分
xz座標で質量mの物体をz軸上のA(0,+a)からA(0,-a)まで動かすとき(経路c)の重力の仕事量Wを求めます。 重力はz軸の負方向に働いています。 重力は F = -mg・e_z (F,e_zはベクトル。e_zはz軸方向の単位ベクトル) と表され、dr = dz・e_z (drはベクトル)であることに注意して(ただしdz<0)、 W = ∫[c]F・dr = -∫[a,-a]mgdz = 2mga となります。 教えていただきたいのは"ただしdz<0"という部分です。 積分のdxみたいなのは微小量で正の数だと思っていたのですが、なぜこの場合dz<0となるのですか？ 積分の微小量dxみたいなのはその正負が計算に影響するのですか？
- trokky
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- 物理学
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仕事の定義、特に、その正負の符号の定め方が問題だからです。 力ベクトルと変位ベクトルとのなす角度をθとすると、仕事の定義は 仕事＝"力ベクトル"と"変位ベクトル"との内積 です。今、 力（重力）は、負の方向のベクトル 変位は＋側から－側の向きへのベクトル です。 W = ∫[c]F・dr この式は、 力ベクトル（Ｆ）と、変位ベクトル（dｒ）との内積 という意味ですから、仕事の定義そのものを書いただけです。 ここでまず、力が負の向きのベクトルなので Ｆ＝－ｍｇ 変位 dｒ は、負の向きですから、積分範囲を、{負の方向への変化として}ａ→（－ａ）としてやれば良いのです。 つまり、変位部分だけに注目すると ∫[ａ,－ａ](…)・dｚ とすれば良いのです。 ご質問に即して書くと… >dr = dz・e_z (drはベクトル)であることに注意して(ただしdz<0) 変位 dｒ は、明らかに負の向きのベクトルです。つまり dｒ<０ これは、ｅ_ｚ（単位ベクトル）と反対向きですから、当然 dｚ<０ ということです。ただし、積分することを考えたときには、変位の微小変量 dｚ が ＋ａ → －ａ のように変化するということを意味しています。それは、積分で表記するときには 積分範囲を [-a,+a] とはしないで、[+a,-a] と書くことに対応しているのです。 以上のことをまとめると W = ∫[c]F・dr ＝∫[ａ,－ａ](－ｍｇ)・dｚ ＝－∫[ａ,－ａ]ｍｇ・dｚ と書ける、ということです。
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