確率について

質問

半径１の円周上に12個の点を半時計周りに等間隔に並んでいる。この12個から異なる３個を無造作に選んでそれらを頂点とする三角形の面積をSとする。 (問)Sのとり得る値の内、S≧1を満たす値をすべて求めよ。また、その時の確率を求めよ。 について教えてください。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞12個の点に順に1～9,a,b,c(cは12個目)の番号を付ける。
12個から異なる3個を選んでそれらを頂点とする三角形を
作る場合、形の違う三角形が何種類出来るかを考えると、
まず、12C3=220だから、出来る三角形は全部で220個。
このうち頂点を1方向に1番ずつずらして一回り回転させた
ときに重なる三角形は正三角形だけであり、正三角形4個
(頂点の番号で書くと159,26a,37b,48c)を220個から除いた
216個は重なることはないが、同じ形のものが12個ずつ
出来る(例えば123,234,345,・・・・・・,abc,bc1,c12の12個)。
従って(220-4)/12=18個は、1方向に1番ずつずらして一回り
回転させたときに重なることのない、すなわち形の違う
三角形ということになる。しかし、この18個のうち、左右
対称形の4個(正三角形を除く例えば123,135,147,16b)を
除く14個については、裏返しで同形となるものが含まれて
いるので、それを除くと14/2=7となり、結局、形が違う
(面積計算の対象となる)三角形は7+4+1(正三角形)の12個
となる。
これらの全てを番号1を含むものとして書き出すと、
123,124,125,126,127,135,136,137,138,147,148,159。
次に面積計算。頂角がπ/6の整数倍で半径が1の二等辺
三角形の面積の組合せで、全て計算出来る。
123の面積は0.067、124の面積は0.183、125の面積は0.317
126の面積は0.433、127の面積は0.500、135の面積は0.433
136の面積は0.683、137の面積は0.866、138の面積は0.933
147の面積は1.000、148の面積は1.183、159の面積は1.299
よってS≧1を満たす値は1.000、1.183、1.299の3個・・・答え
147と合同の三角形の個数は147を含めて12個
148と合同の三角形の個数は148を含めて24個
159と合同の三角形の個数は159を含めて4個
合計12+24+4=40
冒頭に求めたように全部で220個の三角形が出来るので、
S≧1となる確率は40/220=2/11・・・答え
計算ミスご容赦！

補足

詳しい解説有り難うございますとこで、解説中の△148と△159の面積の出しかたを教えてくれませんか？

回答No.3

yyssaa

△148と△159の面積の出しかた？
＞
△148の面積は
(ア)頂角90°(直角)二等辺三角形の面積=(1/2)*1*1=1/2
(イ)頂角120°の二等辺三角形の面積=(1/2)*1*1*sin60°
=(1/2)*1*1*(√3)/2=(√3)/4
(ウ)頂角150°の二等辺三角形の面積=(1/2)*1*1*sin30°
=(1/2)*1*1*(1/2)=1/4
の合計=(1/2)+{(√3)/4}+(1/4)=(3+√3)/4≒1.183です。
△159の面積は
頂角120°二等辺三角形の面積の3倍={(1/2)*1*1*sin60}*3
={(√3)/4}*3≒1.299です。
なお、いずれの二等辺三角形も等辺の長さは1です。

お礼

解説有り難うございます。

回答No.1

nag0720

12個の点から3個選ぶ選び方は、12C3=220通り、
その220通りの内訳は、
点1,2,3と同形の三角形は、12通り
点1,2,4と同形の三角形は、24通り
点1,2,5と同形の三角形は、24通り
・・・・・・
点1,3,5と同形の三角形は、12通り
点1,3,6と同形の三角形は、24通り
・・・・・・

というように、すべてのパターンを列挙してみましょう。全部で12種類あります。

で、それぞれの面積が１以上かどうかを調べれば確率が出てきます。