物理（数学）式の証明

質問

f(x)f'(x)=d/dx{1/2 f２乗(x)}　を示せという問題がわかりません。

どうやるのでしょうか？

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

微分の定義式に従えばよいと思う・・・！

(1/2)・lim[h→0]1/h・{(f(x+h))^2－(f(x))^2}
= (1/2)・lim[h→0]1/h・{(f(x+h)－f(x))(f(x+h)＋f(x))}
= (1/2)・lim[h→0]{1/h・(f(x+h)－f(x))(f(x+h)＋f(x))}
= (1/2)・lim[h→0]1/h・(f(x+h)－f(x))・lim[h→0]((x+h)＋f(x))
= (1/2)・f'(x)・2f(x)
= f'(x)・f(x)

回答No.3

ereserve67

☆f(x)df(x)/dx=d{(1/2)f(x)^2}/dx

合成関数G(f(x))の微分公式を確認します．

dG(f(x))/dx={dG(f)/df}{df(x)/dx}=G'(f(x))f'(x)

この式でG(y)=(1/2)y^2とすると，G'(y)=yであり，

d{(1/2)f(x)^2}/dx=dG(f(x))/dx=G'(f(x))f'(x)=f(x)f'(x)

となり，☆右辺が左辺に等しくなりました．

ちなみにこれは力学の運動方程式を積分するときの常套手段です．例えば，物体の位置x(t)と速度v(t)=dx(t)/dtについて運動方程式

mdv/dt=f(x)

があります．両辺にv=dx/dtを掛けると，

mvdv/dt=f(x)dx/dt

d/dt{(1/2)mv^2}=(d/dt)∫f(x)dx

(1/2)m(v_1^2-v_0^2)=∫_{x_0}^{x_1}f(x)dx

もしf(x)=-kx（フックの法則）なら

(1/2)m(v_1^2-v_0^2)=-(1/2)k(x_1^2-x_0^2)

(1/2)mv_1^2+(1/2)kx_1^2=(1/2)mv_0^2+(1/2)kx_0^2

これはエネルギー保存の式です．

回答No.1

178-tall

>f(x)f'(x)=d/dx{1/2 f２乗(x)}　を示せ…

関数積の微分公式
　d/dx(f*g) = f'*g + f*g'
を使う。

または、
　d/dx(f^2) = 2*f*f'
でも。
これの「公式・名称」は？