物理数学的な事なんですけど…。

質問

『一次元のSchrodinger方程式
[-h^2/2m * d^2/dx^2 + V(x)]Ψ(x) = E Ψ(x)
においてポテンシャルV(x)が偶関数の時、解Ψ(x)は偶関数又は奇関数と仮定してよい事を示せ。』

という問題がありました。どのように手をつけて良いか分かりません。どのようにすれば…。

回答No.1

nikorin · ベストアンサー

方程式全体にx→-xの変換を施してみればよいのです。
すると
[-h^2/2m * d^2/d(-x)^2 + V(-x)]Ψ(-x) = E Ψ(-x)
（hは「エイチバー」=h/2πとします。）

Ψ(x)が偶関数ならばΨ(-x)=Ψ(x)ですよね。V(x)も偶関数。
よって
[-h^2/2m * d^2/dx^2 + V(x)]Ψ(x) = E Ψ(x)
となり、元の式に戻ります。

Ψ(x)が奇関数ならばΨ(-x)=Ψ(x)。
[-h^2/2m * d^2/dx^2 + V(x)](-Ψ(x)) = -E Ψ(x)
[-h^2/2m * d^2/dx^2 + V(x)]Ψ(x) = E Ψ(x)
となって結局元に戻ります。

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回答No.3

guiter

> 解Ψ(x)は偶関数又は奇関数と仮定してよい事を示せ。
固有関数ψ(x)ということですね．

nikorin さんのおっしゃるように x→-x とすると
ψ(-x) も同じ方程式を満たすことがわかります．
ここで一次元で束縛状態の場合は固有値に縮退がないので，
ある E に対しての固有関数はひとつだけです．

つまり，ψ(x) と ψ(-x) は位相だけ異なった同じ状態を表すことになります．
この辺りからうまくもっていけば
　ψ(-x) = ψ(x) or -ψ(x)
を導くことが出来ます．

もちろん，keyguy さんがご指摘のように
これらの固有関数の重ね合わせもSchrodinger方程式の解です．

少しヒントを出しすぎたような気もしますので，
一次元で束縛状態の場合は固有値に縮退がない
ということなども考えてみてください．

お礼

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回答No.2

keyguy

Ψ(x)をy(x)とし
g(x)=2m(E-V(x))/h^2とすれば
方程式はy"+g(x)y=0となりg(x)は偶関数である。

一般に関数f(x)が偶関数のときf'(x)は奇関数になる。
f(x)=f(-x)ならば
f'(x)=(f(x))'=(f(-x))'=-f'(-x)だから//
同様に一般にf(x)が奇関数のときf'(x)は偶関数になる。

y0(x)=(y(x)+y(-x))/2とし
y1(x)=(y(x)-y(-x))/2とすれば
y(x)=y0(x)+y1(x)であり
y0(x)は偶関数でありy1(x)は奇関数である。

よって
(y0(x)+y1(x))"+g(x)(y0(x)+y1(x))=0・・・(1)
ここでx→-xとおけば
(y0(x)-y1(x))"+g(x)(y0(x)-y1(x))=0・・・(2)
である。
(1)+(2)から
y0"+g(x)y0=0
(1)-(2)から
y1"+g(x)y1=0

つまり解の偶関数成分と奇関数成分がそれぞれ独立にもとの方程式を満たすというだけであって
奇関数でもなく奇関数でもない関数が方程式を満たさないというわけではない。
実際方程式を満たす奇関数と方程式を満たす偶関数の和は偶関数でもなく奇関数でもないが方程式を満たす。
勿論奇関数解または偶関数解のいずれかが存在しないときにはこの限りではない。

お礼

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