【2次不等式とグラフ】

質問

aを正の実数とする。
関数f(x)=ax^2+(1-2a)xが2つの条件

(i)-3≦x<0のとき、f(x)≧-1

(ii)x≧0のとき、f(x)≧0

をともにみたすようなaの値は？

解ける方いらっしゃいましたら、
解説お願いします。

回答No.13

ferien

ANo.12です。　質問者さん

意味が分かりませんか？
今の質問文のままで、ANo.10が正解なのはおかしいと思います。他に正解があります。
質問文を確認して下さい。
この質問文が正しいのか、訂正が必要なのか、質問を締め切る前にはっきりさせて下さい。
（自分の質問に責任もって下さい。）

補足

質問文に訂正はありませんでした。

ですが、まだ答えが手元にないので
No10さんの解答を信じ切ってしまいました…

わかったつもりで
ベストアンサーをつけてしまって
申し訳ありませんでした。

訂正していただけるのなら、
お願いしたいです。

遅くなってしまいすいません。

回答No.12

ferien

ANo.3ANo.8です。 質問者さんへ

質問文を正確に入力して下さい。（丸投げだと言われても仕方ないと思います。）

問題の解釈の仕方によって、答えが違ったという場合もあります。
回答者はそれぞれ（おそらく質問者さん以上に）真剣に考えているので、

せめて問題文に間違いがないかどうか、投稿する前に確認して下さい。

回答No.11

ferien

ANo.3ANo.8です。　ANo.10さん

大変分かりやすいご指摘ありがとうございます。納得できました。

回答No.10

muturajcp

#3の方の答「(2-√3)/2≦a≦1/2」は結果的に正解です。
しかし途中に疑問があります。
得られた答えが(i)(ii)を満たすとしても
(i)(ii)から答えが得られたとはいえません。
「軸の位置によって場合分けした」としていますが、
実際には軸x座標pの範囲が-3≦p≦0の場合分けしかしていません。
p<-3,p>0の場合分けはしていません。
(i)(ii)から答え(aの範囲)が得られたとしていますが、
実際はそうではありません。
(i)(ii)に加えて
-3≦p≦0である事を仮定して
aの範囲を得ていますが、
-3≦p≦0となる事の根拠が示されていません。
実際には
(i)から-3≦p
(ii)からp≦0
を導くことができるのにそれが示されていません。

別解)
f(x)=ax^2+(1-2a)x
(i)から
f(-3)=9a-3(1-2a)=15a-3≧-1
→a≧2/15……(1)
放物線fの頂点座標を(p,f(p))とすると
f(x)=a{x+(1-2a)/(2a)}^2-(1-2a)^2/(4a)
p=(2a-1)/(2a)
(1)から
a=1/{2(1-p)}≧2/15
p≧-11/4……(2)
∴軸x座標は-3<-11/4より左側には無い

p≧0のとき
(ii)から
0≦f(p)=-(1-2a)^2/(4a)≦0
→f(p)=-(1-2a)^2/(4a)=0
→a=1/2……(3)
→p=(2a-1)/(2a)=0
∴軸x座標は0より右側には無い

p=(2a-1)/(2a)<0のとき……(4)
a<1/2……(5)
(2)(4)から
-3<-11/4≦p<0
これと(i)から
f(p)=-(1-2a)^2/(4a)≧-1
(1-2a)^2/(4a)≦1
(1-2a)^2≦4a
4a^2-8a+1≦0
(2-√3)/2≦a≦(2+√3)/2
これと(1)&(5).or.(3)から
∴
(2-√3)/2≦a≦1/2

お礼

ご指摘だけでなく
別解までもつけてくださり
ありがとうございます^^*

回答No.9

mister_moonlight

その方針でやるなら、(1)についての場合わけは3つ。
(2)の場合わけは　2つ。

回答No.8

ferien

ANo.3です。補足です。

得られた答え
＞(1/2)（２－√３）≦ａ≦１／２
は、条件１と２を満たしています。グラフを描いてみれば分かります。

ｘの区間と軸の位置によって場合分けしただけですが、

＞(i)-3≦x<0のとき、f(x)≧-1
の方から得られたａの範囲は、条件２も満たしています。
（下に凸な放物線なので、軸より右側の部分は単調増加になるので、
グラフが原点を通ることから、少し考えれば分かります。）

＞(ii)x≧0のとき、f(x)≧0
の方から得られたａの値は、条件１も満たしています。
（－３≦ｘ＜０で、ｆ（ｘ）＞０＞－１です。）
グラフは原点を通るので、軸がｘ＝０より右にあると、条件に合わなくなります。

両方の場合を合わせて答えが得られると判断しました。
それほど的はずれではないと思いますが。。

グラフを描いて見た方が分かりやすいと思います。

回答No.3

ferien

＞aを正の実数とする。
＞関数f(x)=ax^2+(1-2a)xが2つの条件
ｆ（ｘ）＝ａ｛ｘ^2－（１／ａ）（１－２ａ）ｘ＋（１／４ａ^2）（１－２ａ）^2｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　－（１／４ａ）（１－２ａ）^2
＝｛ｘ＋（１／２ａ）（１－２ａ）｝^2－（１／４ａ）（１－２ａ）^2
軸ｘ＝－（１／２ａ）（１－２ａ），このとき、ｆ（ｘ）＝－（１／４ａ）（１－２ａ）^2

＞(i)-3≦x<0のとき、f(x)≧-1
－３≦ｘ＜０の範囲で、ｆ（ｘ）の最小値≧－１であればいいから、
－３≦－（１／２ａ）（１－２ａ）＜０のとき、最小値＝－（１／４ａ）（１－２ａ）^2≧－１
－６ａ≦２ａ－１＜０より、１／８≦ａ＜１／２……（１）
（１－２ａ）^2≦４ａより、４ａ^2－８ａ＋１≦０から、
(1/2)（２－√３）≦ａ≦(1/2)（２＋√３）……（２）
（１）（２）の共通範囲は、(1/2)（２－√３）≦ａ＜１／２

＞(ii)x≧0のとき、f(x)≧0
ｆ（０）＝０だから、ｘ≧０の範囲で、ｘ＝０のとき、最小値＝０であればいいから、
ｘ＝－（１／２ａ）（１－２ａ）＝０より、１－２ａ＝０だから、ａ＝１／２
このとき、最小値＝－（１／４ａ）（１－２ａ）^2＝０
よって、ａ＝１／２　

２つの条件の両方の範囲を合わせると、(1/2)（２－√３）≦ａ≦１／２

＞をともにみたすようなaの値は？
ａの値の範囲ではないんでしょうか？確認をしてみてください。

回答No.2

mister_moonlight

計算だけでやろうとすると、面倒だろう。
そんな時は、グラフが極めて有効。

(1)　f(x)≧-1　からa(x＾2-2x)≧-(x+1)と変形できる。
a＞0より　x＾2-2x≧(-1/a)*(x+1)となるから、-3≦x<0の範囲で、放物線：y＝x＾2-2x　が定点(-1、0)を通る直線：y＝(-1/a)*(x+1)より常に上にあるための直線の傾き＝(-1/a)の値域を定めるだけ。

(2)　これも同じ。
x＾2-2x≧(-1/a)*(x)と変形して、x≧0の範囲で放物線：y＝x＾2-2x　が定点(0、0)を通る直線：y＝(-1/a)*(x)より常に上にあるための直線の傾き＝(-1/a)の値域を定めるだけ。

(1)も(2)も変域内での最小値≧0としても良いが、場合わけが発生して面倒になる。
グラフは　極めて有効な手段だという事は、憶えておいたらよい。