2次不等式で実数xに対して成り立つ条件

質問

x^2+2ax+9a+22>0
がすべての実数xに対して成り立つ条件は？

という問題で

解答には
x^2の係数が正なので
D<0だと書いてあります。

これはなぜでしょうか？

いくら考えてもわからないので教えてください

回答No.1

noname#173903

y=x^2+2ax+9a+22のグラフを考えてみると
x^2の係数が正なので、下に凸（U字型）となり、
yは有限の最小値を持ちます。

この問題では、
y=x^2+2ax+9a+22
=(x+a)^2-a^2+9a+22>0
が全ての実数xに対して成り立つ時の
aの条件を定めれば良いわけです。

x+aが実数であれば、
(x+a)^2は必ず0以上となり、
変数xが-aの時に最小値0をとります。
この時のyの最小値は-a^2+9a+22なので、
この最小値が0より大きくなれば条件を満たしますね。

y=ax^2+bx+cの一般形式では、
最小値は-D/(4a)に対応するので、
ここではa=1より-D/4>0すなわちD<0とも言いかえる事ができます。

あまりDとかにこだわらない方が
理解しやすいと思いますがどうでしょうか。

お礼

細かく詳しい回答ありがとうございます。

おかげで謎が解けました

あまりDに囚われないで進めていこうと思います