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接線 定点
ferienの回答
- ferien
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＞放物線y=x^2の二本の接線gとhが点(a、-1/4b)で交わるとすると、2接線g、hの2つの接点を結ぶ ＞直線は常にある定点を通ることを示すにはどうすればいいのでしょうか？ 接線ｇの接点を（ｘ1，ｘ1^2）ｈの接点を（ｘ2，ｘ2^2）ｘ1＜ｘ2 とすると、 接線の傾きは、ｙ'＝２ｘより、 ｇ：ｙ－ｘ1^2＝２ｘ1（ｘ－ｘ1） ｈ：ｙ－ｘ2^2＝２ｘ2（ｘ－ｘ2）２直線の交点を求めると、 ２ｘ2（ｘ－ｘ2）＋ｘ2^2＝２ｘ1（ｘ－x1）＋ｘ1^2 ２（ｘ2－ｘ1）ｘ＝ｘ2^2－ｘ1^2 ２ｘ＝ｘ1＋ｘ2より、ｘ＝(1/2)（ｘ1＋ｘ2） ｇの式へ代入して、 ｙ－ｘ1^2＝２ｘ1｛(1/2)ｘ1＋(1/2)ｘ2－ｘ1｝ ｙ＝ｘ1ｘ2 交点（(1/2)（ｘ1＋ｘ2），ｘ1ｘ2）（ａ，－1/4）は交点だから、 (1/2)（ｘ1＋ｘ2）＝ａ， ｘ1ｘ2＝-1/4 ……（＊） 接点を結ぶ直線の傾きは、 （ｘ2^2－ｘ1^2）／（ｘ2－ｘ1）＝ｘ1＋ｘ2 だから、 接点を結ぶ直線の式は、（ｘ1，ｘ1^2）を通るから、 ｙ－ｘ1^2＝（ｘ1＋ｘ2）（ｘ－ｘ1） （＊）を代入して、 ｙ－ｘ1^2＝２ａｘ－ｘ1^2－ｘ1ｘ2より、 よって、ｙ＝２ａｘ+（1/4） よって、2接線g、hの2つの接点を結ぶ直線は、定点（０，1/4）を通る。
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