図のような三角形がある。角CAB＝４５°、APは辺

質問

図のような三角形がある。角CAB＝４５°、APは辺BCの垂線、CQは辺ABの垂線。△AQR≡△CQBである。

直線BRと辺ACの交点をSとする。△CQBの周りの長さがa、△CSBの周りの長さがｂ、四角形AQRSの周りの長さがｃの時、△ABCの周りの長さをa.b.cを用いて求めよ。お願いします。

回答No.1

ferien

＞図のような三角形がある。角CAB＝４５°、APは辺BCの垂線、CQは辺ABの垂線。△AQR≡△CQBである。

＞直線BRと辺ACの交点をSとする。△CQBの周りの長さがa、△CSBの周りの長さがｂ、
＞四角形AQRSの周りの長さがｃの時、△ABCの周りの長さをa.b.cを用いて求めよ。
ＡＣ＝ＡＳ＋ＣＳ，ＡＢ＝ＡＱ＋ＢＱ，ＢＣ＝ＢＰ＋ＣＰ　……（１）
△AQR≡△CQBより、ＡＱ＝ＣＱ，ＡＲ＝ＣＢ，ＲＱ＝ＢＱ　……（２）で、
△CQBの周りの長さがaだから、ＡＱ＋ＡＲ＋ＲＱ＝ＣＱ＋ＣＢ＋ＢＱ＝ａ
（１）（２）より、ＡＢ＝ＡＱ＋ＢＱ＝ＡＱ＋ＲＱ＝ａ－ＡＲ＝ａ－ＣＢだから、
ＡＢ＋ＣＢ＝ａ　……（３）
△CSBの周りの長さがｂだから、ＣＢ＋ＣＳ＋ＢＳ＝ｂ
四角形AQRSの周りの長さがｃだから、ＡＳ＋ＳＲ＋ＲＱ＋ＡＱ＝ｃ
左辺同士右辺同士足すと、
ＣＢ＋（ＡＳ＋ＣＳ）＋（ＡＱ＋ＲＱ）＋ＢＳ＋ＳＲ＝ｂ＋ｃ
ＡＳ＋ＣＳ＝ＡＣ，　（２）より、ＡＱ＋ＲＱ＝ＡＱ＋ＢＱ＝ＡＢ　を上の式へ代入すると、
ＣＢ＋ＡＣ＋ＡＢ＋ＢＳ＋ＳＲ＝ｂ＋ｃ
（３）より、
ａ＋ＡＣ＋ＢＳ＋ＳＲ＝ｂ＋ｃ　……（４）
△ＡＱＣで、（２）より、ＡＱ＝ＣＱで、
角CAB＝４５°だから、直角二等辺三角形
よって、角ＡＣＱ＝４５°　
△ＢＱＲで、（２）より、ＲＱ＝ＢＱで、
角ＲＱＢ＝９０°だから、直角二等辺三角形
よって、角ＱＢＲ＝角ＱＲＢ＝４５°　
△ＡＢＳで、
角ＳＡＢ＝ＳＢＡ＝４５°だから、直角二等辺三角形
よって、ＡＳ＝ＢＳ　……（５）
△ＳＲＣで、
角ＳＲＣ＝角ＱＲＢ＝４５°（対頂角が等しい）
角ＳＣＲ＝４５°（＝角ＡＣＱ）より、
角ＳＲＣ＝角ＳＣＲだから、直角二等辺三角形
よって、ＳＣ＝ＳＲ　……（６）
（５）（６）より、
ＢＳ＋ＳＲ＝ＡＳ＋ＳＣ＝ＡＣ　を（４）へ代入して、
ａ＋ＡＣ＋ＡＣ＝ｂ＋ｃ
２ＡＣ＝ｂ＋ｃ－ａ
よって、ＡＣ＝(1/2)（ｂ＋ｃ－ａ）

よって、、△ABCの周りの長さは、（３）より、
ＡＢ＋ＣＢ＋ＡＣ＝ａ＋(1/2)（ｂ＋ｃ－ａ）
＝(1/2)（ａ＋ｂ＋ｃ）

図の中に直角二等辺三角形が４つあるので、確認して下さい。