数学

質問

行列Aは対角行列で、対角成分が1か-1とします。
行列Bがあって、
ABAの固有値と、Bの固有値が等しいのはなぜですか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

A がそのような行列だと、A^-1 = A になっています。
A^2 が単位行列になることを、計算して確認してください。
ABA = AB(A^-1) なので、
AB(A^-1) と B の固有値が一致することを言えばよい。

一般に、正則な行列 P について、
PB(P^-1) と B の固有値は一致します。
単位行列を E と書いて、
PB(P^-1) - xE = PB(P^-1) - xPE(P^-1)
= P(B - xE)(P^-1)
より、
det( PB(P^-1) - xE )=0 ⇔ det( B - xE )=0
だからです。
同値な方程式の解は、同じですよね？