この問題を解説出来る方、いらっしゃいますでしょうか

質問

出来ればsinθとcosθの値と、その値の求め方もお願いします

回答No.4

yyssaa

sinθ=x、cosθ=yとおくと
x^2+y^2=1　→　y=±√(1-x^2)
x+y=(√5)/2に代入して
x±√(1-x^2)=(√5)/2　→　±√(1-x^2)=-x+(√5)/2
両辺を二乗してxの二次方程式を解いてx=(√5±√3)/4
0＜θ＜π/4では0＜sinθ＜1/√2
x=(√5±√3)/4のうち(√5-√3)/4だけがこの条件を
満たすので、x=(√5-√3)/4
y=(√5)/2-(√5-√3)/4=(√5+√3)/4
0＜θ＜π/4では1/√2＜cosθ＜1、(√5+√3)/4は
これを満たすのでy=(√5+√3)/4
以上からsinθ=(√5-√3)/4、cosθ=(√5+√3)/4

(8)(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)
xy=(5-3)/16=1/8
x^3+y^3=(x+y)^3-(3/8)(x+y)
={(√5)/2}^3-(3/8)(√5)/2=(7√5)/16
sin^3θ+cos^3θ=(7√5)/16・・・答え

(9)x-y={(√5-√3)/4}-{(√5+√3)/4}=(-√3)/2
sinθ-cosθ=(-√3)/2・・・答え

回答No.3

ferien

＞出来ればsinθとcosθの値と、その値の求め方もお願いします
個々の値は求められないと思います。

０°＜θ＜45°だから、sinθ＞０，cosθ＞０
sinθ＋cosθ＝√５／２　……（１）
（sinθ＋cosθ)^2＝sinθ^2＋２sinθcosθ＋cos^2θ
＝１＋２sinθcosθ
（１）より、（√５／２）^2＝１＋２sinθcosθより、sinθcosθ＝１／８　……（２）

sin^3θ＋cos^3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin^2θ－sinθcosθ＋cos^2θ）
＝（sinθ＋cosθ）（１－sinθcosθ）
＝（√５／２）・｛１－（１／８）｝…（１）（２）より
＝７√５／１６

sinθ－cosθ
合成の公式より、
sinθ－cosθ＝√２sin（θ－45°）
０°＜θ＜45°より、－45°＜θ－45°＜０°だから、
sin（θ－45°）＜０より、
sinθ－cosθ＝√２sin（θ－45°）＜０
（sinθ－cosθ）^2
＝（sinθ＋cosθ）^2－４sinθcosθ　
＝（√５／２）^2－４×（１／８）…（１）（２）より
＝３／４
よって、sinθ－cosθ＝－√３／２

でどうでしょうか？

回答No.2

Tacosan

(9) に関しては √2 で割って加法定理という方針もあったり.

回答No.1

gohtraw

ｓｉｎΘ＝ｓ、ｃｏｓΘ＝ｃとします。
ｓ＋ｃの値が与えられているので、（ｓ＋ｃ）＾２もわかりますね。
（ｓ＋ｃ）＾２＝ｓ＾２＋２ｓｃ＋ｃ＾２
であり、ｓ＾２＋ｃ＾２＝１なので、ｓｃの値も判ります。

ｓ＾３＋ｃ＾３＝（ｓ＋ｃ）（ｓ＾２－ｓｃ＋ｃ＾２）
　　　　　　　＝（ｓ＋ｃ）（１－ｓｃ）

（ｓ－ｃ）＾２＝ｓ＾２－２ｓｃ＋ｃ＾２
　　　　　　　＝１－２ｓｃ
なので、
ｓ－ｃ＝±√（１－２ｓｃ）
ですね。あとはΘの範囲からｓとｃの大小が判るので・・・？