２行２列の行列で

質問

反交換する４個の行列を作れない。ってあったのですが証明方法がわかりません。
ヒントでもいいので教えてください。

回答No.5

grothendieck · ベストアンサー

rynさんの理屈だと、2行2列の三つの独立な行列σ1,σ2,σ3 で
　σiσj + σjσi = 2δij
を満たすものは存在しないということになりませんか？しかし実際にはそのようなものは存在します。
　γμγν + γνγμ = 2gμν
を満たす規約な行列が４行４列に限ると言う証明はそれほど易しくはないようです。一つの証明が
　大貫義郎「ポアンカレ群と波動方程式」、岩波(1976), p.105
にあります。

回答No.7

ryn

grothendieck さんご指摘ありがとうございます。

No.4 で私の言っていることは
未知数が線形の場合の話ですね。

今は、非線形連立方程式なので
おっしゃるように易しくはなさそうです。

お礼

私が知らない間に議論が進んでいたようです。ありがとうございます。
しかし、まだ解決していません。ただいま勉強中です。

回答No.6

grothendieck

下の私の回答で
　規約　→　既約
に訂正して下さい。

回答No.4

ryn

2行2列の行列が4個ということは
要素数は全部で16個です。

一方、反交換関係
　γ(^μ)γ(^ν) + γ(^ν)γ(^μ) = 2η(^μν)
は、行列としては10本の式ですが
行列の要素ごとに等式が成り立つので、
γ(^μ)が2行2列の時には40本の式がでてきます。

未知数16個で40本の式を満たすことは出来ません。
満たしてしまったとすると逆に式のほうが独立でないことになります。

回答No.3

noname#9538

>16個の行列が一次独立のところがわかりません。勉強不足ですみません。

例えば、
J.J.Sakurai「Advanced Quantum Mechanics」
(訳本がでている「Modern Quantum Mechanics」ではなく。)
に分かりやすい説明があったように記憶しています。

お礼

ありがとうございます。明日早速図書館いって調べてみます。

回答No.2

noname#9538

たぶん、Dirac行列が頭にあるのだとおもいます。
証明の方法はいろいろ考えられるのだろうとは思いますが、
まず物理をやっている者としてぱっと思いついたのは、

4つの反交換する行列γ(^μ)があると、(notationは通常のもので)

１,γ(^μ),γ(^μ)γ(^ν),γ(^μ)γ(^5),γ(^5)

の1+4+6+4+1=16この行列が1次独立になります。
これから少くとも2×2行列では数が足りないことが言えると思います。

補足

「Dirac方程式の共変性」でも回答いただきましてありがとうございます。
そうなんです。ディラック方程式が最低4×4の行列になる証明をしています。
すみません。よくわかりません。16個の行列が一次独立のところがわかりません。
勉強不足ですみません。

回答No.1

ryn

要素数＜式の本数

ではダメでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
う”～ん。わかりません。ごめんなさい。どんな参考書に載ってますか？