近似的に3×3行列を求める方法とExcelでの計算方法について
- 3行3列の行列(近似値)を求めるためには、A,B,C,I,J,Kの6つの既知の変数に対して行列式を成立させるa1～a3, b1～b3, c1～c3を求める必要があります。
- A,B,C,I,J,Kが1通りであれば3×3行列は決定できますが、複数の組み合わせが存在する場合は完全に条件を満たす行列が存在するとは限らず、近似値になる可能性があります。
- 近似的に3×3行列を求めるには、Excelを使用する方法があります。Excelの行列計算機能を利用して、既知の変数の値と行列式を入力し、求めたい行列の値を計算することができます。また、フリーソフトでも同様の行列計算が可能です。
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3行3列の行列(近似値)を求めたい
A,B,C,I,J,Kの6つの既知の変数に対して 以下の行列式を成立させるa1～a3, b1～b3, c1～c3が 存在するとします。 (A B C) | ※求めたい行列 | = (I J K) ※求めたい行列 | a1 a2 a3 | | b1 b2 b3 | | c1 c2 c3 | A,B,C,I,J,Kが1通りであれば3×3行列は決定できると思いますが、 A,B,C,I,J,Kの組が複数ある場合、完全に条件を満たす3×3行列が あるとは限らず、実際のところ近似値になると思います。 A,B,C,I,J,Kは、幾通りあるにせよ既知の定数です。 例としてデータの組は添付ファイルのように複数あるとします。 近似的に3×3行列を求めるには、どのような計算を行えば 良いのでしょうか？ そのような計算をExcelで行う方法、又はそれが可能なフリーソフトなど ありましたら教えて頂けませんでしょうか？
- kagiyo
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- 数学・算数
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データが4組以上あるときは、最小2乗法による回帰分析が使えます。 たとえば、データを(A,B,C,I,J,K)で表すとして、 データ１＝(3,2,6,5,9,8) データ２＝(8,9,6,2,5,4) データ３＝(1,9,8,5,4,7) データ４＝(1,2,3,4,5,6) のとき、次の3種類の回帰分析（定数項がないモデル）を実行します。 １ 非説明変数は(5,2,5,4)。説明変数は(3,8,1,1)、(2,9,9,2)、(6,6,8,3)の3系列。 ⇒ 計算された3個の係数パラメータは、a1,b1,c1の近似値 ２ 非説明変数は(9,5,4,5)。説明変数は(3,8,1,1)、(2,9,9,2)、(6,6,8,3)の3系列。 ⇒ 計算された3個の係数パラメータは、a2,b2,c2の近似値 ３ 非説明変数は(8,4,7,6)。説明変数は(3,8,1,1)、(2,9,9,2)、(6,6,8,3)の3系列。 ⇒ 計算された3個の係数パラメータは、a3,b3,c3の近似値 （Excelで実行する場合） Excelで実行する場合は、「分析ツール」の中の「回帰分析」が使えます。この場合、「定数に0を使用」というオプションをオンに設定します。 なお、Excelのリボンやツールバーに「分析ツール」が見つからないときは、まず、アドオンを有効にする必要があります。詳しい方法は、Excelのヘルプを参照してください。
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- Mr_Holland
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データが4セット以上ある場合は分かりませんが、例のようにちょうど3セットあるときは、求めたい行列を唯一に決めることができると思います。 ちょうど3セットの場合は、データA,B,Cで作った行列の逆行列を データI,J,Kで作った行列に左から掛けてやれば 求めたい行列が得られます。 参考までに、例のときの「求めたい行列」を表計算ソフトで計算したものを示します。 この行列に左から(A B C)を掛けてやれば厳密に(I J K)が得られます。 0.227848101, -0.006329114, 0.946202532 0.481012658, 0.208860759, 0.275316456 0.46835443, 0.348101266, -0.041139241 ＞A,B,C,I,J,Kが1通りであれば3×3行列は決定できると思いますが、 1セットだけでは、いくらでも自由度が生じまい、一意に決定できません。 例えば例のデータ1のセットでしたら、勝手に次のように作れますが、これは他のデータセットには当てはまりません。 (3)(1,1,0) (5) (2)(1,0,1)=(9) (6)(0,1,1) (8)
お礼
ご回答ありがとうございます。 3セットまでなら一意に決定できるのですか。行列についての知識は、学生時代の古い記憶のみを頼りに考えていました。もう少し勉強しなおそうと思います。
補足
データが1セットだけでは、確かに一意には決定できませんね。 実際のデータ数は、数十～数百を想定しています。
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