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行列
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こういう問題は成分計算をしても大抵はとけません. det(A)≠0のときは A^2 = A^3 A^{-1} = O A^{-1} = 0 det(A)=0のとき ケーリー・ハミルトンの定理 A^2-tr(A)A+det(A)A=O より A^2=tr(A)A tr(A)=0のときは,A^2=O tr(A)≠0のときは A^2 = tr(A)A A/tr(A) =A^3/tr(A)=O 証明終
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- naniwacchi
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Tr(A)とは、対角成分の和を表します。 2×2行列:Aの場合には、Tr(A)= a+dとなります。 (i)Δ= ad-bc= 0のとき ケーリー・ハミルトンの式より (入試問題の解答では、「行列Aは次の式を満たす」と書く方が無難です) A^2- (a+d)A+ (ad-bc)E= 0 A^2= (a+d)A- (ad-bc)E A^2= (a+d)A ・・・(1式)(∵Δ= ad-bc= 0より) (i-a) a+d= 0のとき (1式)より A^2= 0 (i-b) a+d≠ 0のとき (1式)の両辺に Aをかけて A^3= (a+d)A^2= 0 a+d≠ 0より A^2= 0 (ii)Δ= ad-bc≠ 0のとき 行列Aは逆行列をもつことになるので、 A^3= 0に逆行列:A^(-1)をかけて、A^2= 0 (i)、(ii)より、A^3= 0ならば A^2= 0である。
- kabaokaba
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>A^3 = 0 なんだから、det(A) = 0 ですよね。 あー,そりゃそうだ.つられた(苦笑)
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
A^3 = 0 なんだから、det(A) = 0 ですよね。
お礼
ありがとうございます >A^3 = 0 なんだから、det(A) = 0 ですよね。 よろしければ詳しく教えてください
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お礼
ありがとうございます。 tr(A) とは何ですか?
補足
tr(A) わかりました