行列の証明

質問

A,Xは２次の正方行列
A=｜a b｜，X=｜１　２｜
　　｜c d｜　　｜-2　１｜
a+d≠０のとき
A^2=X^2　ならば　AX=XAを示したいのですが、
ヒント（方針）だけください。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

C-Hの定理とA^2=X^2の仮定より
X^2－tA＋δE＝Ｏ
ただし，t＝trA＝a+d≠０，δ＝detA
これより
A＝．．．
に左右からそれぞれXをかけてXとAは可換．
具体的成分計算はしなくて良い．

補足

t＝trA＝a+d≠０のtrAってどういうことですか？
detAはAの逆行列ですよね？
ちょっと高度すぎてわからないんです。
そこだけもう少し詳しく教えてください。

回答No.3

oshiete_goo

trA＝a+d
は対角和（トレース）と呼ばれる量で，２次の正方行列ならば　a+d　です．行列Aのtraceの場合ならtrAです．
また，detA＝ad-bc は(行列Aの)行列式[determinant]ですね．

簡単のためそれぞれｔとδで略記しましたが，一般的に通用するわけではないので，この略記は解答の中で定義して断って使うことが必要です．

お礼

なるほど！
どうもありがとうございました。

回答No.1

majoruma

他にもっと簡単な方法があるのかもしれません。
もしかしたら簡単な方法をお聞きになっているのかもしれませんが、
そのときはごめんなさい。
こんな方法ならわかってるよ！って言われるかもしれない（汗）けど一応。

Ａ^２＝Ｘ^２を計算し、
でてきた連立方程式から、
a b c dを求めることができます。

そしたら
次にＡＸを計算し、答えをだす。
次にＸＡを計算し、答えをだす。
で同じ答えがでたことから、
ＡＸ＝ＸＡを証明するってのはどうでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
んー、確かに行列は成分計算にすれば計算量は増えるが簡単になりますよね。
これも頭の中に置いときます。
ありがとうございました。