小行列式について

質問

Aを行列とする。
「（１）次数がrの小行列式の中に値の0でないものが少なくとも１つ存在する。
（２）rよりも大きい次数の小行列式の値は全て0となる。
上の2条件（１）（２）が成り立つ。」
⇔「rank(A)=rとなる。」
の証明方法が分かりません。⇒側は簡単に出来ると思うのですが、そこから先はどのように証明したらよいか教えて頂けますでしょうか？

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

#1です。

よく見ると、質問文と#1の回答で(1),(2)がかぶっているので、#1に書いた基本変形を(a)～(c)とします。

どこでつまづいたのかが分からないので、略解を適当に書きますね。よく分からない箇所があれば補足を。

(1),(2)を満たす行列Ａに(a),(b)の基本変形を一度だけ施した行列を考えても、やはり、(1),(2)を満たすのは、行列式の性質を考えれば、明らかです。

Aに対して、(c)の基本変形を施した場合だけ考えます。
ここでは、Ａの第i列に第j列のc倍を加えた行列Ｂを考えます。(行基本変形の場合は、転置行列を考えれば同じ議論になる)
また、Ａの第k列をa_kと書くことにします。

1.Aの第i列を含まないｒ次の小行列式の中に、0でないものが存在する場合。
↑の条件を満たす小行列式(の1つ)をΔとしますこれに対応するＢの小行列式Δ'=Δ≠0です。

2.Aの第i列を含まないr次の小行列式は全て０である場合。
Ａは(1)を満たすのですから、第i列を含むr次の小行列式の中に０でないものが存在するので、それをΔとします。また、これに対応するBの小行列式をΔ'とします。
Δ'=(…a_i+c*a_j…)=(…a_i…)+c(…a_j…)=Δ+c(…a_j…)=Δ+c*0=Δ≠0
です。

以上より、Bは(1)を満たします。

次に(2)の証明です。
Bのr+1次以上の小行列式の中に０でないものが存在すると、Aが(2)を満たすことに矛盾します。(←基本変形が可逆の操作だから)
よって、Bのr+1次以上の小行列式は全て０です。つまり(2)を満たします。

以上の議論から、(1),(2)を満たす行列に正則行列をかけても(右からでも左からでも)、(1)(2)を満たします。

任意の行列A(rankA=r)はある正則行列P,Qを用いて、PAQ=F(r)と変形できます。
なお、F(r)とは、標準形((1,1)成分～(r,r)成分が1で残りが0)のつもりで使っています。

F(r)は明らかに(1),(2)を満たしますから、Aも(1),(2)を満たします。

これで、rankA=r⇒(1)かつ(2)が証明できました。

お礼

とても参考になりました。本当にありがとうございました。

回答No.1

eatern27

ヒント。

(1)かつ(2)が成り立つ任意の行列Ａに対して、基本変形を施しても、(1)かつ(2)が成り立つ事を証明してみましょう。

ちなみに、基本変形とは、
(1)列(行)を入れ替える
(2)ある列(行)に０でない定数をかける。
(3)ある列(行)に別の列(行)の定数倍をかける。
というものでした。

お礼

ありがとうございます。
申し訳ないですが、うまくいかなかったので、具体的に教えていただけたら尚助かるのですが。よろしくお願いします。