行列の固有値、固有ベクトルの問題

質問

| 1 -2 -1 |
A= | 2 -1 -3 |
| 0 3 -2 |

の固有値、固有ベクトルを求める問題なのですが、
固有値を出そうとするときに
固有値が -1,(3±√19i)/2
と出てくるのですが
複素数が出てきた場合どのように解けばいいのかがわかりません
数学があまり得意でないので詳しく教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

はき出し方により、
| λ-1 -2 1 |
| -2 λ+1 3 |
| 0 -3 λ-2 |
=
| λ-1 -2 1 |
| 0 λ+1-4/(λ-1) 3+2/(λ-1) |
| 0 -3 λ-2 |
λ^2-3λ+7=0を使うと、

| λ-1 -2 1 |
| 0 3λ-12 3λ+1 |
| 0 -3 λ-2 |
として、もう一度計算してみてください。
私が計算したら、z=t1として(非正則であるので一つを定数とおく)、
t1[(21-√19i)/27 (1-√19i)/6 1]
となったのですが。
確認願います。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

一つだけ注意。

>-αβγ=7となる因子を探し…

素因子を入れても出てこないものは有ります。大抵、エクセルでグラフ書くと変な値になります。
その場合はカルダーノの公式(3次方程式の解の公式)で検索して別途勉強が必要になります。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

続き

| λ-1 -2 1 |
| -2 λ+1 3 |
| 0 -3 λ-2 |
だね。

=(λ-1)(λ+1)(λ-2)+6-{4(λ-2)-9(λ-1)}
=λ^3-2λ^2-λ+2+6-4λ+8+9λ-9
= λ^3-2λ^2+4λ+7=0 ・・・(※)

3次方程式x^3+ax^2+bx+c=(x-α)(x-β)(x-γ)=0とおくと、
解と係数の関係より
-α-β-γ=a
αβ+βγ+γβ=b
-αβγ=c
だから、
-α-β-γ=-2
αβ+βγ+γβ=4
-αβγ=7
となる。

-αβγ=7となる因子を探し、3次方程式はグラフを書くと実数解が1つは存在するから、一つは1か-1であるというあたりをつける。7は素数だから、解の中に1か-1が紛れ込んでいる確率が高い。-1か1で出なければ、7で試してみる。
(※)式に-1を入れると成り立つから、解の1つは-1(仮にα=-1とおく)。因子にx+1をもつから、因数分解すると
λ^3-2λ^2+4λ+7
=λ^2(λ+1)-3λ^2+4λ+7
=λ^2(λ+1)-3λ(λ+1)+7λ+7
=λ^2(λ+1)-3λ(λ+1)+7(λ+1)
=(λ^2-3λ+7)(λ+1)=0

残りの解はλ^2-3λ+7=0を満たす解だから、解の公式から
β=(3+√19i)/2
γ=(3-√19i)/2
がわかる。

あまり得意で無いということなので、どうやってあたりをつけるかまで書いておきました。
解と係数の関係だけを使っても解けますよ。

お礼

回答ありがとうございます。

固有値までは出せるのですが
固有ベクトルはどう出せばいいのでしょうか？

私は行列を[A]とおくと

[A]・t[x y z]=固有値・[xyz] (tは転置)
というように解いているのですが

固有値が-1のとき
固有ベクトルはt[-3/2 1 -1 ]
となりました

固有値が(3＋√19i)/2のとき
固有ベクトルはt1/60[ (19＋2√19i) 10(7＋√19i) 60]

のようになったのですがやり方はあっているのでしょうか？

いろいろ聞いてすいません・・
よろしくお願いします。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

固有値をλとして、Ax=λx→(λI-A)x=0となる。(Iは単位行列)
このとき、(λI-A)x=0は連立方程式となるため、零解では無い解を持つためには(λI-A)は非正則である必要がある。(右辺の零ベクトルを打ち消さない限り何をかけても零のままだから。)

従って、|λI-A|=0である必要がある。
| λ-1 2 1 |
| -2 λ+1 3 |
| 0 -3 λ+2 |
=(λ-1)(λ+1)(λ+2)+6-{-4(λ+2)-9(λ-1)}
=λ^3+2λ^2-λ-2+6+4λ+8+9λ-9
= λ^3+2λ^2+12λ+3=0

あれ？行列を書き写し間違えてない？

お礼

回答ありがとうございます

補足

すいませんおっしゃる通り写し間違えていました。

| 1 2 -1 |
| 2 -1 -3 |
|0 3 2 |

でした。
よろしくお願いします。