固有値、固有ベクトルの問題

質問

大学生です。数学の質問です。

問題） 次の初期値問題を解け（固有値、固有ベクトルを用いて解く）

dy_1/dt = 3y_1 - 2y_2
dy_2/dt = -y_1 + 2y_2

y_1(0) = a, y_2(0) = b

固有値、固有ベクトルは授業で習いましたが、それで具体的に何を求めてどういった形で回答すればよいのか、問題の意味がよくわかっていません。親切な方、ぜひ回答よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan

例えば
dx_1/dt = 4x_1
dx_2/dt = x_2
という連立微分方程式は解けますか?

回答No.2

ask-it-aurora

よく見たら回答No.1では初期条件を満たしていませんね． 計算間違えました^^; ついでに転置の記号が変数tと紛らわしかったので転置の記号をTに代えて書き直します．

y := T(y_1, y_2), A := [[3, -2], [-1, 2]] (係数行列)とおく．すると上の初期値問題は
dy/dt = Ay, y(0) = T(a, b)
と書き直せる．ただしdy/dtは成分毎の微分を表す．このとき一般解は行列の指数関数を用いて
y = e^(tA)y(0)
と書けるので後はe^(tA)の計算をすればよい．

行列Aの固有値，固有ベクトルを計算すれば(ルーティーンワークなので省く)
A = PDP^(-1)
と対角化できる．ここで
P = [[1, 2], [1, -1]],
D = [[1, 0], [0, 4]]
である．したがって行列の指数関数がe^(tA) = e^(P(tD)P^(-1)) = P e^(tD) P^(-1)となるので具体的に計算ができて(ただの行列の掛け算なので詳細は省く)T(y_1, y_2) = y = e^(tA)y(0)ゆえ
y_1 = {(a + 2b)e^t + 2(a - b)e^(4t)}/3
y_2 = {(a + 2b)e^t - (a - b)e^(4t)}/3
となる．

験算：確かにこの解はもとの微分方程式と初期条件を満たす．

回答No.1

ask-it-aurora

行列の指数関数について基本的なことを既にやっていますか？そうでなければ厳しいように思います．以下解答．

y := t(y_1, y_2) (tは転置を表す), A := [[3, -2], [-1, 2]] (係数行列)とおく．すると上の初期値問題は
dy/dt = Ay, y(0) = t(a, b)
と書き直せる．ただしdy/dtは成分毎の微分を表す．このとき一般解は行列の指数関数を用いて
y = e^(tA)y(0)
と書けるので後はe^(tA)の計算をすればよい．

行列Aの固有値，固有ベクトルを計算すれば(ルーティーンワークなので省く)
A = PDP^(-1)
と対角化できる．ここで
P = [[1, -2], [1, 1]],
D = [[1, 0], [0, 4]]
である．したがって行列の指数関数がe^(tA) = e^(P(tD)P^(-1)) = P e^(tD) P^(-1)となるので具体的に計算ができて(ただの行列の掛け算なので詳細は省く)t(y_1, y_2) = e^(tA)y(0)ゆえ
y_1 = {(a - 2b)e^t -2(a + b)e^(4t)}/3
y_2 = {(a - 2b)e^t + (a + b)e^(4t)}/3
となる．

験算：確かにこの解はもとの微分方程式を満たす．