二次方程式の応用

質問

「数学は役に立つか」という質問に対しては、数学関係者は、数学がなければ現在の科学技術はないといいます。それは事実ですが、実際こういう事に役立っているという説明は総体的であり曖昧であり、漠として分かりません。数学という表現そのものが曖昧で、ある時は算数であったり、ある時は高等数学であったり、それをごっちゃにして議論するから意見がかみ合わない。数学がこんなに役立っていると具体的に実例を挙げたある本では、殆ど四則演算の域をでないものばかりでした。実際、実社会では工学を含めて四則演算が圧倒的多数であると思います。技術的なことで数学を必要としても、そこにはすでにかっての偉人たちが微積分やその他の高級数学を使って導き出した公式を使うだけの事でしょう。それは四則演算でまにあう簡単な式になっているのです。ただその公式を使うためだけでも、それにまつわる技術を知らなければその公式を正しく使うことさえできない筈です。
そこで質問です。二次方程式でｘに具体的な物理量が当てはまる実例があったら教えて下さい。

回答No.8

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> 定数Cがゼロでないとした、それは何を意味するのでしょう。
> ｙは制動距離だからそこに定数はあり得ない。やはり一般式にはあてはまらない？

原点をどこにとるかというだけの話ですよ。それは現象の本質ではありません。Cが定数で何がおかしいのですか？

ま、ご質問は二次方程式の例ということですので、そちらの回答に絞ります。一般に、y = ax^2 の形になる物理量は沢山あります。それら全て、原点を移動することで

y = ax^2 + bx + c

の形になり得ます。もちろん、数式上で変形するだけの無意味なものではありません。例えば、質点の運動エネルギー Ek は運動量 p の二乗に比例します。

Ek = (1/m)p^2

質点の運動量が p から p + Δp に変化した場合の運動エネルギーは、

Ek = (1/m)(p + Δp)^2 = (1/m)Δp^2 + (2/m)pΔp + (1/m)p^2

と、Δp の二次関数で表されます。同様に、例えば抵抗 R の負荷が消費する電力 P は、負荷を流れる電流を I とすると、P = IR^2 ですね。これも I → I + ΔI を考えると二次関数になります。

このように、

y = ax^2 + bx + c

の形をとるか、

y = ax^2

の形をとるかは現象の本質と何の関係も無い事がお分かりいただけますね。

これで納得できないようでしたら、静電容量 C のコンデンサに i(t) = (A/2)t + i0 という電流を流すと、コンデンサ両端の電圧 vc(t) は

vc(t) = (A/C)t^2 + (i0/C)t + vc(0)

になります。また、既に面積 S0 の土地を持っている人が、一辺 L の正方形の土地を買いました。翌年、その正方形の土地の一辺を N だけ伸ばして買い足したとします。その人の所有する土地の面積 S は、

S = S0 + L^2 + NL

になりますね。放物運動や制動距離もそうですが、特殊な問題に絞り込めばいかようにでもこじつけることは可能だと思いますよ。

補足

＞原点をどこにとるかというだけの話ですよ。それは現象の本質ではありません。Cが定数で何がおかしいのですか？

原点を移動したときの定数とは何を意味するのですか。それは制動距離ではない。物理量は単なる数字とは違うと思いますが。

y = ax^2 において、ｘ を ｘ+Δｘ として展開すれば当然
y = aΔx^2 + bΔx + c の形になります。 がこれ単なる式の変形で y = ax^2 から一歩も出ていません。
しかしなぜそんな面倒なことをして Δｘ を求めるのですか。
ｘ+Δｘ→ｚ とすれば y = aｚ^2 から ｚ が得られます。Δｘ＝ｚ－ｘ です。

私の最初の質問が悪かったようです。
私は三次方程式ですが、ファン・デル・ワールスの式をイメージしていました。それは理想気体の状態式を修正した物で ｘ→ｘ+Δｘ として展開したものではありません。

ｖ＾3 -（RT/ｐ + ｂ）ｖ＾2 + （a/p）ｖ - ab/ｐ＝０

このような形での工学で使用されている二次方程式はないのか質問したかった訳です。

ご回答ありがとうございました。