５次方程式？

質問

f(x) = x^5+25x^4+10x^3+5x^2+4x+9
これが四則演算とべき根で表せないことを示せ。

一般の５次方程式には解の公式がないそうですが、このように具体的な多項式が出されたときどう解答すればいいんでしょう？
教えてください。

回答No.3

inara

これは参考URLの解法が使えると思いますが。私の理解力では途中までしかできませんでした。

【参考URLの解法】
x1 = x - 5 とおくと
　　　x^5 + 25*x^4 + 10*x^3 + 5*x^2 + 4*x + 9 = x1^5 - 240*x1^3 + 2355*x1^2 - 8671*x1 + 11364
となって4乗の項を消すことができます。

これは参考URLの
　　　f(x) = x^5 + a2*x^3 - a3*x^2 + a4*x - a5
において、a2 = -240、a3 = -2355、a4 = -8671、a5 = 11364 である場合に相当します。

PDFファイル6ページにある「まとめと実例」の手順を使えば
　　　b2 = - 3*a2^2 - 20*a4 = -155460 (36)
　　　b4 = 3*a2^4 + 16*a3^2*a2 - 8*a4*a2^2 + 240*a4^2 - 400*a5*a3 = -58649040 --- (37)
　　　b6 = - a2^6 - 16*a3^2*a2^3 - 64*a3^4 +28*a4*a2^4 + 224*a4*a3^2*a2 -176*a4^2*a2^2 +320*a4^3 - 80*a5*a3*a2^2 - 1600*a5*a4*a3 + 4000*a5^2*a2 = -800598302818560 --- (38)
　　　c = 32
　　　D = 108*a2^5*a5^2 -72*a2^4*a3*a4*a5 + 16*a2^4*a4^3 + 16*a2^3*a3^3*a5 - 4*a2^3*a3^2*a4^2 - 900*a2^3*a4*a5^2 + 825*a2^2*a3^2*a5^2 + 560*a2^2*a3*a4^2*a5 - 128*a2^2*a4^4 - 630*a2*a3^3*a4*a5 + 144*a2*a3^2*a4^3 - 3750*a2*a3*a5^3 + 2000*a2*a4^2*a5^2 + 108*a3^5*a5 - 27*a3^4*a4^2 + 2250*a3^2*a4*a5^2 - 1600*a3*a4^3*a5 + 256*a4^5 + 3125*a5^4 = -26108951426916955466067 --- (39)
なので
　　　G(z) = ( z^3 + b2*z^2 + b4*z + b6 )^2 - D*c^2*z
　　　　　　= ( z^3 - 155460*z^2 - 58649040*z - 800598302818560 )^2 + 26735566261162962397252608*z --- (30)
が重根を持てば、f(x) = 0 は可解ということになります。

　　　G(x) = z^6 - 310920*z^5 + 24050513520*z^4 - 1582961446120320*z^3 + 248925464022239596800*z^2 + 26829474904934838073617408*z + 640957642475958696840280473600
　　　　　　 = ( z + 33949.19616 + 13430.08246*I )*( z + 33949.19616 - 13430.08246*I )*( z + 4259.813284 + 110122.5249*I )*( z + 4259.813284-110122.5249*I )*( z - 193669.0094 + 45672.00310*I )*( z - 193669.0094 - 45672.00310*I )
　　　G'(z) = 2*( z^3 - 155460*z^2 - 58649040*z - 800598302818560 )*( 3*z^2-310920*z-58649040 ) + 26735566261162962397252608
　　　　　　 = 6*z^5 - 1554600*z^4 + 96202054080*z^3 - 4748884338360960*z^2 + 497850928044479193600*z + 26829474904934838073617408
　　　　　　 = 6*( z + 32777.47532 )*( z + 4708.587576 + 78023.78097*I )*( z + 4708.587576 - 78023.78097*I )*( z - 131503.8962 )*( z - 169790.7542)

ですから、G(x) = 0 と G'(z) = 0 が共通の解を持てば、f(x) = 0 には解があるということになります。しかし、共通解はなさそうです。もし、非常に近い解が見つかった場合、数値計算では有限の桁でしか比較できないので、厳密に共通解かどうか判断できません。

【補足】
上の計算には数式処理ソフトを使いましたが、元の方程式を因数分解すると
　　　 f(x) = ( x + 24.60153853 )*( x + 0.6133248984 + 0.5254812155*I )*( x + 0.6133248984 - 0.5254812155*I )*( x - 0.4140941629 + 0.6239870963*I )*( x - 0.4140941629 - 0.6239870963*I ) = 0
となります。info22 さんの解はこの中の実数解です。しかし問題は、この実数解が四則演算とべき根で表わされるかということですので、数式処理ソフトの有理数解を求める方法を使って調べてみました（これも有限桁数なので限界がありますが）。その結果、最大桁数30桁で
　　　x = -7796538770715213800094679637045/316912650057057350374175801344
　　　　= -( 5 )*( 1657 )*( 202854645429333127615783 )*( 4639 )/( 2^98 )
　　　　= -24.6015385290284726611579453173

　　　x = -31186155082860855200378718548179/1267650600228229401496703205376
　　　　= -( 31186155082860855200378718548179 )/2^100
　　　　= -24.6015385290284726611579453173
という２種類の表現の（近似）有理数が得られました。これは解を有理数で近似しただけで、もちろん厳密な解ではありません。

[1]　５次方程式の可解性高速判定法　http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf

参考URL：

http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf

回答No.2

info22

この場合は因数分解できませんね。
因数分解が力不足でできないのか、本当に因数分解できないのか、確認する必要がありますね。y=f(x)のグラフを描けば、X軸との交点（実根）が１つしかないことが確認できます。その実根が有理根でなければ、因数分解はできませんね。
因数分解できることは5次方程式が解けるということになります。
４次以下の方程式は一般解が求められます（証明されている）。

こういう場合は、増減表を書くなりしてy=f(x)のグラフを描くことです。
奇数次方程式は必ず、少なくとも1根は持ちますので、グラフによって
それ以上の根を持たないことが確認できます。

数式ソフトやグラフソフトが使える環境にあるならグラフを描いたり、因数分解ができないことを確認できますから利用すべきでしょうね。

一応、ラフなグラフを書いて、X軸との交点の付近を拡大してX座標を求めて見ました。
x≒24.60153853
なお、数式ソフトで因数分解できないことを確認しました。

筆算ではNewton-Raphson方で近似解を求められます。
有理数になりそうでない近似解ですので因数分解の可能性が極めて少なくなります。

お礼

明確な回答ありがとうございます。
グラフ書けば確かにすぐに分かりますよね！
ただ代数の授業なのでたぶん代数的に示すことが求められていると思うので、もう少し考えてみます。

回答No.1

kabaokaba

どういう文脈で出された問題なんですか？

もしガロア理論の文脈だったら
f(x)のガロア群を計算して
それが可解でないことを示すという流れでは？

＃私は計算の仕方わすれました(苦笑)
＃解の遷移を計算するんでしたっけ

お礼

回答ありがとうございます。
ガロア理論についての問題なので一度その方針でやってみます。