保存力とポテンシャルについての問題

質問

原点x=0の付近に存在する質点に作用する
保存力F(x)による一次元ポテンシャルV(x)について、
原点付近の領域で考える。
ただし、V(x)はx=0で極小値0をとり、V(x)はどこにおいても連続、有限で、
何回でも微分可能な関数であるとする。

(1)F(x)とV(x)の関係式を書け

(2)質点が力を受けない位置を答えよ。

(3)V(x)はx=0付近で下記の式のように展開して表される。

V(x)=Σ[n=0～∞] (1/n!)・(x^n)・( V(0)(n))
(※V(0)(n)はn回微分の意味です)

xが十分に小さい領域において、
V(x)のべき展開におけるxの3次以上の項が無視できるとき、V(x)を求めよ。

(4)原点に質量mの質点があり、質点の位置を原点から僅かに変位させた時の
微小振動について考える。質点の運動方程式を(3)の近似を用いて表せ。

(5)(4)における微小振動の周期を求めよ。

(3)までは自力で何とか考えたのですが答えが無いため自信がありません…。
お手数ですが、(1)から(5)へ至るための解きかたを教えて頂けないでしょうか？
どうか宜しくお願いします。

回答No.1

sa10no

(1)定義どおり。
(2)(1)とF=0からすぐ。
(3)n=1～2の和を書き下すだけ。
(4)(3)のポテンシャルから(1)を使って力を求めて運動方程式を書く。
(5)微分方程式を解く。