三角関数 最大値の問題です。

質問

y軸上に点Ａ（０，３）と点Ｂ（０，１）をとり、ｘ軸上に点Ｃ（ｃ，０）　（ｃ＞０）、∠ACB＝θ（０＜θ＜π）
とする。　ｃがｃ＞０の範囲で変化するとき、θの最大値をもとめよ。そのときのｃの値を求めよ。
途中まではわかったのですが・・・

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞y軸上に点Ａ（０，３）と点Ｂ（０，１）をとり、ｘ軸上に点Ｃ（ｃ，０）　（ｃ＞０）、
＞∠ACB＝θ（０＜θ＜π）
＞とする。　ｃがｃ＞０の範囲で変化するとき、θの最大値をもとめよ。そのときのｃの値を求めよ。
∠ＡＣＯ＝ａ，∠ＢＣＯ＝ｂとおくと、
∠ACB＝θ＝ａ－ｂ
tanａ＝ＡＯ／ＣＯ＝３／ｃ，tanｂ＝ＢＯ／ＣＯ＝１／ｃ
加法定理より、
tanθ＝tan（ａ－ｂ）＝（tanａ－tanｂ）／（１＋tanａ・tanｂ）
＝｛（３／ｃ）－（１／ｃ）｝／｛１＋（３／ｃ^2）｝
＝２／ｃ／｛１＋（３／ｃ^2）｝
＝１／（ｃ／２）×｛１＋（３／ｃ^2）｝
＝１／｛（ｃ／２）＋（３／２ｃ）｝
相加平均・相乗平均より、
（ｃ／２）＋（３／２ｃ）≧２√（ｃ／２）・（３／２ｃ）＝２√３／２＝√３
等号成立は、ｃ／２＝３／２ｃより、２ｃ^2＝２・３、ｃ＞０だから、ｃ＝√３
これから、
tanθ＝１／｛（ｃ／２）＋（３／２ｃ）｝≦１／√３　より、tanθの最大値は、１／√３
よって、θの最大値は、ｃ＝√３のとき、
θ＝π／６（０＜θ＜π）

でどうでしょうか？

お礼

ありがとうございました！！！
相加相乗を使える形が、いまいちまだのみこめていないので、
教えていただいて良かったです。No.３さんのコメントも合わせて答えがつくれそうです。
本当にありがとうございました。

回答No.6

mister_moonlight

＞でも、なぜここで判別式？そして判別式≧０というのがなぜなのかよく分からないのですが・

分母をkとして払うと、ｃの2次方程式。
その2次方程式は　ｃの実数解を持つから　判別式≧0.

判別式は　軽視されているが　いろんな場面で(＝2次方程式であれば)有効。
整数問題、最大値・最小値の問題、特にこの2つには有効。
相加平均・相乗平均　や　微分　を考える前に　先ず判別式を考えたらよい。

回答No.5

ferien

ANo.2です。　

＞＜１＞がｃ＝２の時のtanθをだす問題だったので、加法定理を使ってtanθ＝２x／x＾２＋３まで
＞解きました。
この式が求められていることを知らなかったので、相加平均・相乗平均を使いましたが、
ｆ（ｘ）＝２ｘ／（ｘ^2＋３）とおけば、微分して最大値を求めることができると思います。
ｆ'（ｘ）＝｛２（ｘ^2＋３）－２ｘ・２ｘ｝／（ｘ^2＋３）^2
＝－２（ｘ^2－３）／（ｘ^2＋３）^2
ｆ'（ｘ）＝０より、０＜ｘだから、ｘ＝√３
増減表を作ると、ｘ＝√３のとき、０＜ｘの範囲で最大値をとるから、
（ｘ→+∞　のとき　ｆ（ｘ）→０）
tanθの最大値＝ｆ（√３）＝√３／３＝１／√３
０＜θ＜πの範囲で、tanθ＝１／√３になるのは、　θ＝π／６しかないので、
よって、ｃ＝√３のとき、θの最大値π／６

でどうでしょうか？　計算して確かめてみて下さい。

お礼

この感じの微分だと数IIIC の範囲ですよね！？
公式しか知らず、それこそ使いこなせないので、相加相乗の方が理解できます。
二度手間を取らせてしまって申し訳ありません。
ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)この範囲で、tanθは単調増加だから、tanθの最大値は　θの最大値に一致する。

(正)この範囲で、tanθは単調増加だから、tanθの最大は　右辺の最大に対応する。

(注)
右辺の最大値は　相加平均・相乗平均を使わなくても良い。判別式で終わり。
右辺をkとして　分母を払って判別式≧0。　k＞0より　分母の最小値が出る。
但し、それの値を代入して　最少値を与えるcの値は求めておく事。

補足

ありがとうございました。
判別式を使って出せるとは思いませんでした。でも、なぜここで判別式？そして判別式≧０というのがなぜなのかよく分からないのですが・・・バカな質問ですみません。

回答No.3

mister_moonlight

＃2の回答は　不完全解。
肝心な説明がないから、得点としては“半分”だろう。

＞tanθ＝１／｛（ｃ／２）＋（３／２ｃ）｝

として、右辺の最大値を求めているが、何故それで良いのか、肝心な説明がない。

右辺＞0　から　tanθ＞0.　従って、０＜θ＜πより　０＜θ＜π/2.
この範囲で、tanθは単調増加だから、tanθの最大値は　θの最大値に一致する。
従って、‥‥‥　として以下を続けることになる。

入試では、例え　答があっていても　途中の推論に“誤りやごまかし”があれば　容赦なく減点される。
逆に　推論が正しければ計算ミスをしても減点は少ない、事を憶えておいたらよい。

お礼

ありがとうございました。０＜θ＜πはどこで使えばいいのか分からなかったので、良かったです。
No.２さんの解答と合わせて答えが作れそうです。
本当にありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

じゃあその「途中まで」と「どこがわからないのか」を書いてみてください.

補足

合っているのかよくわからないのですが,
＜１＞がｃ＝２の時のtanθをだす問題だったので、加法定理を使ってtanθ＝２x／x＾２＋３まで解きました。