問題

質問

問題）　x > 0 において，　1 + x - x^2 < sinx + cosx 　が成立することを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞問題）　x > 0 において，　1 + x - x^2 < sinx + cosx 　が成立することを示せ。

ｆ（ｘ）＝sinｘ＋cosｘ－（１＋ｘ－ｘ^2）とおくと、
ｆ'（ｘ）＝cosｘ－sinｘ－１＋２ｘ
ｆ''（ｘ）＝－sinｘ－cosｘ＋２
合成の公式より、
＝－√２sin（ｘ＋π/4）＋２
ｘ＞０で、－１≦sin（ｘ＋π/4）≦１だから、
－√２sin（ｘ＋π/4）＋２＞０より、ｆ’’（ｘ）＞０
よって、ｘ＞０で、ｆ'（ｘ）は単調増加
ｆ'（０）＝１－０－１＋２×０＝０だから、
ｘ＞０で、ｆ'（ｘ）＞ｆ'（０）＝０
よって、ｆ（ｘ）は、単調増加
ｆ（０）＝０＋１－１＋０＋０＝０だから、
ｘ＞０で、ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０
よって、１＋ｘ－x^2＜sinｘ＋cosｘ

でどうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。いや～，すばらしいです。そうか，２階微分からできるんですね。了解です。ありがとうございました。