三角関数の問題について

質問

0≦x＜2πのとき、sinx+√3cosx＜1
の問題でπ/3≦x+π/3＜7π/3まではわかったのですが、ここから5π/3＜x+π/3＜13π/6になる解き方がわからりません。教えてくださいおねがいします

回答No.1

atkh404185 · ベストアンサー

0≦x＜2πのとき、sinx+√3cosx＜1

sinx+√3cosx<1
2sin(x+π/3)<1
sin(x+π/3)<1/2 ・・・・・（１）

ここで、 x のとりうる値の範囲は
0≦x＜2π　より
π/3≦x+π/3＜(7/3)π

この範囲で、（１）を満たす　x+π/3　の範囲は
(5/6)π<x+π/3<(13/6)π

したがって、求める範囲は
(1/2)π<x+π/3<(11/6)π

5π/3＜x+π/3＜13π/6になる解き方がわかりません。

　　⇓⇓⇓

基本的には、単位円を使って解けばいいと思います。

0≦x＜2π　のとき
sinx<1/2　・・・・・・（２）
の解は
0≦x<(1/6)π，(5/6)π<x<2π　
です。

これは、xy平面上に単位円　と　直線y=1/2　を書いて
直線y=1/2より下側にある（円周）部分が、（２）の解（求めるxの値の範囲）になります。
それが
0≦x<(1/6)π，(5/6)π<x<2π　
です。

例えば、筆記具をｘ軸の正の部分に当ててみて下さい。
それが、　『　０の動径　』　になります。
そして、筆記具を１周させて下さい。
それが、　『　0≦x＜2π　』　になります。

xy平面上に単位円　と　直線y=1/2　を書いて
直線y=1/2より下側にある部分を太くして
動径を　０から２π　まで１回転させます。
すると、
０　から　(1/6)π　の部分までは、太く書いた部分であり、
(1/6)π　から　(5/6)π　の部分までは、何もしていない部分であり、
(5/6)π　から　２π　の部分までは、太く書いた部分であるから
求める範囲は
0≦x<(1/6)π，(5/6)π<x<2π
になります。

では、この問題では
sin(x+π/3)<1/2 ・・・・・（１）
の解は
まず
(5/6)π<x+π/3<(13/6)π
の範囲で、（１）を満たす　x+3/π　の範囲を求めることになります。

同じように、xy平面上に単位円　と　直線y=1/2　を書いて
直線y=1/2より下側にある（円周）部分を太くします。
π/3≦x+π/3＜(7/3)π
で考えるので、
π/3　の位置に筆記具を当てて下さい。
その位置から、筆記具（動径）を１周させます。

π/3　から　(5/6)π　までは、何もしていない部分であり、
(5/6)π　から　(13/6)π　の部分までは、太く書いた部分であり、
(13/6)π　から　(7/3)π　の部分までは、何もしていない部分であるから
x+3/π　の範囲は
(5/6)π<x+π/3<(13/6)π
になります。

回答No.2

bran111

sinx+√3cosx＜1　　　　　　　(1)
2で割って
(1/2)sinx+(√3/2)cosx<1/2　　　　(1)'
cos(π/3)＝1/2, sin(π/3)=√3/2
なので(1)'は
cos(π/3)sinx+sin(π/3)cosx<1/2
加法定理より
sin(x+π/3)<1/2 (1)''
X=x+π/3 (2)
とおいてsin(X)のグラフを考える。条件より
π/3≦X<7π/3 (3)
(3)の範囲で
y=sin(X)　　　　　　　　　　（4）
のグラフを書くこと。
グラフから明らかなようにy<1/2を満たすXの範囲は
5π/6<X<7π/6 (5)
(2)を用いて
5π/6<x+π/3<7π/6
整理して
π/2<x<5π/6
これが正解。

結局y=sinxのグラフが正確に描けることに尽きる。グラフを書く能力は何よりも大事。