不等式を解け

質問

(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧｜sinθ｜

色々やって
cosθ≧0かつcosθ≧-sinθ
または
cosθ＜0かつcosθ≧-sinθ/√3
というのがわかったのですがcosθ≧-sinθやcosθ≧-sinθ/√3をどうやって解くのかがわかりません
教えてください

回答No.5

ferien

＞(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧｜sinθ｜
０≦θ＜２πとします。
０≦θ≦πのとき、｜sinθ｜＝sinθ，　π＜θ＜２πのとき、｜sinθ｜＝－sinθ　だから、
０≦θ≦πのとき、
(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧sinθより、
(1+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧０
（１＋√３）（sinθ＋cosθ）≧０だから、
sinθ＋cosθ≧０
合成の公式より、
√２sin（θ＋π/4）≧０だから、sin（θ＋π/4）≧０
０≦θ≦π　より、π/4≦θ＋π/4≦π＋π/4だから、
Ａ＝θ＋π/4とおくと、π/4≦Ａ≦π＋π/4
sinＡ≧０より、単位円で考えると、
π/4≦Ａ≦π　だから、π/4≦θ＋π/4≦π
よって、０≦θ≦3π/4　……（１）

π＜θ＜２πのとき、
(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧－sinθ
(3+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧０
両辺を（１＋√３）で割ると、
{(3+√3)/(1+√3)}sinθ+cosθ≧０
（３＋√３）／（１＋√３）＝√３だから、
√３sinθ+cosθ≧０
合成の公式より、
２sin（θ＋π/6）≧０だから、sin（θ＋π/6）≧０
π＜θ＜２πより、π＋π/6＜θ＋π/6＜２π＋π/6だから、
Ｂ＝θ＋π/6とおくと、π＋π/6＜Ｂ＜２π＋π/6
sinＢ≧０だから、単位円で考えると、
２π≦Ｂ＜２π＋π/6だから、２π≦θ＋π/6＜２π＋π/6
よって、11π/6≦θ＜２π　……（２）

（１）（２）が解だと思います。計算を確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.3です。

投稿した後に気づきました。No.2さんの解き方を勉強してください。

お礼

わかりました
ありがとうございました

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

両辺cosθで割ってtanθ≧－1、tanθ≧－√3

補足

cosθ＜0のとき不等号が逆転してしまいませんか？

回答No.2

mins-maxs

参考URL貼り付け忘れました。

三角関数の合成
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

お礼

ありがとうございました

回答No.1

mins-maxs

計算過程は長くなるので省きますが
(1)cosθ≧0かつcosθ≧-sinθ
(2)cosθ＜0かつcosθ≧-sinθ/√3
が正しいとして計算した結果

(1)－４５°≦θ≦９０°
(2)９０°＜θ≦１５０°

これより
－４５°≦θ≦１５０°という答えがでました。

あってる自信はありません＾＾；

三角関数の合成公式を使えば解けるのではないでしょうか。
cosθ＋sinθ≧０とみて左辺を合成すれば出せると思います。

補足

本当にすみません！
sinθ≧0かつsinθ≧-cosθ
または
sinθ＜0かつsinθ≧-cosθ/√3