三角関数の不等式

質問

やり方がイマイチ分かりません・・・
以下の問題を例に教えてくださいｍ（_ _）ｍ

(1)sinθ<√3（cosθ+1）
(2)sin＾2θ+sinθcosθ+2cos＾2θ>2

お願いします！！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

簡単の為に0≦θ≦2πとします。

(1) sinθ<√3（cosθ+1）

sinθ-√3cosθ<√3
2((1/2)sinθ-(√3/2)cosθ)<√3
cos(π/3)=1/2,sin(π/3)=√3/2なので
sinθcos(π/3)-cosθsin(π/3))<√3/2
sin(θ-(π/3))<√3/2
単位円を描いて -π/3≦θ-(π/3)≦2π-(π/3)の範囲で　y<√3/2
の範囲を求めると
　-π/3≦θ-(π/3)<π/3 ⇒　0≦θ<2π/3
または
　2π/3<θ-(π/3)≦2π-(π/3) ⇒　π<θ≦2π
まとめて
　0≦θ<2π/3, π<θ≦2π

(2)sin＾2θ+sinθcosθ+2cos＾2θ>2

sin＾2θ+sinθcosθ+2cos＾2θ>2
sin＾2θ+2cos＾2θ=1より
　sinθcosθ+cos＾2θ > 1
sinθcosθ+cos＾2θ-1 > 0
sinθcosθ-sin＾2θ > 0
sinθ(cosθ-sinθ) > 0
場合分けして
(A) sinθ>0 かつ cosθ> sinθ
まとめると　0<sinθ<cosθ　(0<y<x)
単位円から　0<θ<π/4
(B) sinθ<0 かつ cosθ< sinθ
まとめると　cosθ< sinθ<0 (x<y<0)
　 単位円から π<θ<5π/4

(A),(B)まとめて　答えは「0<θ<π/4, π<θ<5π/4」

回答No.1

noname#152422

sin(a)<bとかsin(a)>b（または、cos(a)<bとかcos(a)>b）の形・・・（※）

に持ち込むことを考えます。

(1)では右辺のcosθを含む項を左辺に移項し、三角関数の合成を用い、（※）の形にします。

(2)では、倍角公式を使ってsinθやcosθの項を消してsin(2θ)やcos(2θ)を含む不等式に書き換え、sin(2θ)の項とcos(2θ)の項とを三角関数の合成を用いて一つの項にまとめ、（※）の形にします。