A^(Bi)をべき数にiが入らない形で表して下さい

質問

A^(Bi)をべき数にiが入らない形で表して下さい。

(iは虚数単位)

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

A^(Bi)=e^(iBln(A))
オイラーの公式を適用
=cos(Bln(A))+isin(Bln(A))
ここで、ln( )は自然対数log_e( ) を表す。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.5

info22_

#1,#3,#4です。

#4の訂正です。

>＃もっとも、自然対数ln( )を複素数の範囲まで拡張すれば、
>A#2で書いた、A>0の条件を外し、A<0の場合を扱っても問題はないですがね。

A#2ではなくA#3でした。
訂正願います。

A<0も含めるとln ()を拡張してやれば
A,Bは実数(A,B≠0)として
A^(Bi)={cos(Bln|A|)+i sin(Bln|A|)}*e^(-B*arctan2(0,A))
=i^(2Bln(A)/π)
=(-1)^(Bln(A)/π)
={cos(B)+isin(B)}^(lnA)
など
とも表せますね。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.4

info22_

#1,#3です。

A,B実数でA>0として

A^(Bi)=e^(Biln(A))=(e^i)^Bln(A)=(cos(1)+i sin(1))^(Bln(A))
あるいは
A^(Bi)=e^(Biln(A))=(e^(iB))^(ln(A))=(cos(B)+i sin(B))^(ln(A))
あるいは
A^(Bi)=e^(Biln(A))=(e^(iπ))^(Bln(A)/π)=(-1)^(Bln(A)/π)
あるいは
A^(Bi)=e^(Biln(A))=(e^(iπ/2))^(2Bln(A)/π)=i^(2Bln(A)/π)

とも表せますね。

＃もっとも、自然対数ln( )を複素数の範囲まで拡張すれば、
A#2で書いた、A>0の条件を外し、A<0の場合を扱っても問題はないですがね。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.3

info22_

#1です。

問題に書いてなかったので書き忘れましたが
A#1の回答では　A,Bは実数、A＞0
として回答してあります。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.2

178-tall

A^(iB) = (A^i)B
　　　 = [e^{iLN(A)}]^B
　　　= [cos{LN(A)} + isin{LN(A)}]^B
とか…？

お礼

回答ありがとうございました