【三角形の問題】

質問

三角形ABCにおいて、辺AB、BC、CAを
それぞれｍ：ｎに分割する点を順にD,E,Fとする。
ｍ、ｎを自然数として、

(1)三角形DEFの重心と三角形ABCの重心は一致することの証明

(2)どのようなｍ、ｎに対してもAE⊥DFとなるとき、
三角形ABCはどのような三角形か。

解ける方いますか…？
解説付きでお願いしますm(__)m

回答No.2

mister_moonlight

書き込みが　大変面倒なので　略解を書いとくから　答案の完成は自分でやって。

座標に持ち込んでしまえば、単純な計算問題に過ぎない。
A(0、1)、B(-b、0)、C(c、0) 、b＜0、c＞0としても一般性を失わない。

(1)ABCの重心は{(c-b)/3、1/3}。3点D、E、Fの座標は　Ｄ{-bm/(m+n)、n/(m+n)}、Ｅ{(cm-bn)/(m+n)、0}、Ｆ{cn/(m+n)、m/(m+n)}。
この3点の重心の座標を計算すると、{(c-b)/3、1/3}に一致する。

(2)
直線AEの傾き＝-(m+n)/(cm+bn)。直線DFの傾き＝(n-m)/(bm-cn)
これが直角に交わるから　傾きの積＝-1.計算して整理すると　(1-bc)m＾2-(b＾2-c＾2)mn-(1-bc)n＾2＝0
常に成立するから、全ての係数＝0.計算すると　a＝b＝c＝1。
つまり、正三角形の時。