問題が難しくて解けません。

質問

三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡをそれぞれｍ：ｎに分割する点を順にＤ、Ｅ、Ｆとする。
どんな自然数の組（ｍ,ｎ）をとっても、ＡＥ⊥ＤＦとなるならば、三角形ＡＢＣはどんな三角形か。

この問題が解ける方は是非解いてください。おねがいします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

この問題はベクトルの考え方による解法がわかりやすく一般的ですが、このような別解を考えてみました。

題意はどのような自然数のm,nの組についても成り立つので、m=nのときも成り立つ。

このとき、D,E.Fはいずれも三角形の各辺の中点となるので、中点連結定理からDFはBCに平行、AE⊥DFだからAE⊥BC。頂点Aが底辺BCの垂直2等分線上にあるので三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形でなければならない。

m≠n のときも　三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形でなければならないので、添付した図のようにX軸上にB(-b,0),C(b,0)、Y軸上にA(0,a)をとるよう定めても、一般性を失わない。a>0,b>0　とする。

直線ABの式は　y=(a/b)x+a、直線ACの式は　y=(-a/b)x+a　
直線AEの式は　y=-(a(m+n)/b(m-n))x+aだから

D,E,Fの座標は　図に表示したとおりとなる。

ここで、直線DFの傾きmは、m=(a(m-n)/b(m+n))
直線AEの傾きm'は、m'=-(a(m+n)/b(m-n))

常にAE⊥DFだから　mm'=-1　でなければならない。

mm'=(a(m-n)/b(m+n))・-(a(m+n)/b(m-n))
　=-(a^2/b^2)=-1　…（１）

a^2=b^2 a>0,b>0 だから　a=b　

a=bより二等辺三角形ABCは角Aが直角の二等辺三角形となる。

逆にこのとき、（１）がm,nの値に関係なく成り立つので常にAE⊥DFとなり、題意を満たす。

回答No.2

ereserve67

t=m/(m+n)とおくと，0<t<1です．

ベクトル記号を省略します．

AB=b

AC=c

とおくと，

AD=tb
BE=t(c-b)
CF=t(-c)

よって

AE=AB+BE=b+t(c-b)=(1-t)b+tc
AF=AC+CF=c-tc=(1-t)c
DF=AF-AD=(1-t)c-tb

AE⊥DFより

AE・DF={(1-t)b+tc}・{(1-t)c-tb}
=-t(1-t)|b|^2+{(1-t)^2-t^2}b・c+t(1-t)|c|^2
=0

(1-2t)b・c=t(1-t)(|b|^2-|c|^2)
{(n-m)/(n+m)}b・c={mn/(m+n)^2}(|b|^2-|c|^2)

（☆）(n^2-m^2)b・c=mn(|b|^2-|c|^2)

これがどんな自然数の組(m,n)でも成立するので，とくにm=nとすると，

(1)|b|=|c|

これを☆に代入すると

(n^2-m^2)b・c=0

とくにm=1,n=2とすると

(2)b・c=0

逆に(1)，(2)が成り立つと☆は任意の自然数に対して成り立つ．

(1)，(2)から

「△ABCはAB=ACかつAB⊥ACの直角二等辺三角形である」

回答No.1

gohtraw

ベクトル記号は省略します。
ＡＥ＝（ｍＡＣ＋ｎＡＢ）／（ｍ＋ｎ）
ＡＤ＝ｍＡＢ／（ｍ＋ｎ）
ＡＦ＝ｎＡＣ／（ｍ＋ｎ）
なので、
ＤＦ＝（ｎＡＣ－ｍＡＢ）／（ｍ＋ｎ）
従って
ＡＥ・ＤＦ＝（ｍｎ（ＡＣ・ＡＣ－ＡＢ・ＡＢ）＋（ｎ＾２－ｍ＾２）ＡＣ・ＡＢ　・・・（１）
ＡＥとＤＦが垂直ということは上記（１）の内積の値がゼロということで、
ｍとｎの値に関係なく（１）＝０であるためには
ＡＣ・ＡＣ＝ＡＢ・ＡＢ　かつ
ＡＣ・ＡＢ＝０
なので、三角形ＡＢＣにおいてＡＢ＝ＡＣ、かつＡＣとＡＢは直角をなす、つまり△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣである直角二等辺三角形。